K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 11 2017

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si với \(x; \frac{1}{x}\) là hai số dương:

\(x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)

\(\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2\geq 4\)

Tương tự, \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\geq 4\)

\(\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\geq 8\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{x}\\ y=\frac{1}{y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)

P.s: Có thể thấy điều kiện $x+y=2$ là dư thừa.

5 tháng 1 2019

Hem thừa .-.

\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2}{2}=8\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2017

Lời giải:

a)

Với \(x>1\Rightarrow x-1>0\). Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x=(x-1)+1\geq 2\sqrt{x-1}\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-1}}{x}\leq \frac{\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra ki \(x-1=1\Leftrightarrow x=2\)

b) Trước tiên, ta có bđt phụ sau:

\(x^3+y^3\geq xy(x+y)\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2(x+y)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )

Do đó, \(\frac{x^3+y^3-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}\geq \frac{xy(x+y)-x^2-y^2}{(x-1)(y-1)}\geq 8\)

\(\Leftrightarrow xy(x+y)-(x^2+y^2)\geq 8(x-1)(y-1)\)

\(\Leftrightarrow x^2(y-1)+y^2(x-1)-8(x-1)(y-1)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (y-1)[x^2-4(x-1)]+(x-1)[y^2-4(y-1)]\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (y-1)(x-2)^2+(x-1)(y-2)^2\geq 0\)

(luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)

17 tháng 7 2020

\(\frac{x^3+y^3-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\ge8\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\ge8\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge8\)

By Titu's Lemma we have:

\(LHS\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\) and we need prove that:

\(\left(x+y\right)^2\ge8\left(x+y\right)-16\)

But the last inequalities is true. ( QED )

27 tháng 4 2016

Chào ng đẹp

http://olm.vn/hoi-dap/question/119593.html

27 tháng 4 2016

mãi éo ra

8 tháng 5 2017

\(\left(x+\dfrac{2}{y}\right)\left(\dfrac{y}{x}+2\right)\ge2\sqrt{\dfrac{2x}{y}}.2\sqrt{\dfrac{2y}{x}}=2.2.2=8\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)