Question

[Linh Nguyen]

Một đường thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD và cắt BC , BD , DC theo thứ tự ở K , E , G

a) \(Cm:AE^2=EK.EG\)

b) \(\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\)

C)CM : Khi đường thẳng d thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK . DG có giá trị không đổi.

GIÚP MK VS NHA

MK ĐG CẦN GẤP _ CẢM ƠN NHIỀU

Answer 1

[Tùng Trần Sơn]

a) Vì ABCD là hình bình hành

\(\rightarrow\)AB // CD hay AB // DG; AD // BC hay AD // BK.

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BEK\) có AD // BK

\(\rightarrow\dfrac{AE}{EK}=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{AD}{BK}\) (hệ quả định lý Talét) (1)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DEG\) có AB // DG

\(\rightarrow\dfrac{EG}{AE}=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{DG}{AB}\) (hệ quả định lý Talét) (2)

Từ (1) và (2) \(\rightarrow\dfrac{AE}{EK}=\dfrac{EG}{AE}\rightarrow AE^2=EK.EG\) (đpcm)

b) Từ (1) \(\rightarrow\dfrac{AE}{AK}=\dfrac{DE}{BD}\) (hệ quả định lý Talét) (3)

Cũng lại có AB // DG

\(\rightarrow\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{BE}{BD}\) (hệ quả định lý Talét) (4)

Từ (3) và (4) \(\rightarrow\dfrac{AE}{AK}+\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{DE}{BD}+\dfrac{BE}{BD}\)

hay \(AE\left(\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\right)=\dfrac{BD}{BD}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\) (đpcm)

c) Từ (1) và (2) \(\rightarrow\dfrac{AD}{BK}=\dfrac{DG}{AB}\)

hay \(AD.AB=BK.DG\)

Vì hình bình hành ABCD không đổi nên AD, AB không đổi
Suy ra tích AD.AB không đổi

\(\Rightarrow\) Tích BK.DG không đổi khi đường thẳng d thay đổi vị trí khi vẫn đi qua A (đpcm)

\(\rightarrow\dfrac{EG}{AE}=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{DG}{AB}\)

Answer 2

[Tùng Trần Sơn]