Question

[Hải Vật Lý]

a) Tìm phân số tối giản biết rằng nếu cộng mẫu số vào tử số và giữ nguyên mẫu số thì giá trị phân số tăng lên 7 lần.

b) Chứng minh: \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{97}{144}\)với mọi n ∈ N; n ≥ 2.

Answer 1

[Lê Thị Hồng Vân]

a, Gọi phân số cần tìm là \(\dfrac{a}{b}\); phân số sau khi cộng là \(\dfrac{a+b}{b}\).

Theo bài ra ta có ;

\(\dfrac{a}{b}\cdot7=\dfrac{a+b}{b}\\ \Leftrightarrow\dfrac{7a}{b}=\dfrac{a}{b}+1\\ \Leftrightarrow\dfrac{7a}{b}-\dfrac{a}{b}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{6a}{b}=1\\ \Leftrightarrow6a=b\)

Vì \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản nên \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{6}\)

Vậy phân số tối giản cần tìm là \(\dfrac{1}{6}\)

b, Đặt \(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)

Ta có :

\(A< \dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\\ =\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}\)

Vì \(n\ge2vàn\in N\Rightarrow\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{n}\Rightarrow\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}< \dfrac{1}{2}\)

Mà \(\dfrac{1}{2}< \dfrac{97}{144}\Rightarrow\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}< \dfrac{97}{144}\Leftrightarrow A< \dfrac{97}{144}\\ \RightarrowĐpcm\)