Question

[Mai Tuyết]

Các bạn giải hộ mình bài này với: Cho a,b,c > 0
\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}>=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
MÌNH ĐÃ GIẢI THỬ RỒI VÀ KHÔNG BIẾT CÓ ĐÚNG HAY KHÔNG, CÁC BẠN CHO Ý KIẾN NHÉ VÀ GIÚP MÌNH BIẾT THÊM CÁC CÁCH GIẢI KHÁC NHÉ:
x=\(\dfrac{1}{a}\)
y=\(\dfrac{1}{b}\)
z=\(\dfrac{1}{c}\)

=> \(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}=\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{z^2}{y}+\dfrac{x^2}{z}\) *
Áp dụng bất đẳng thức schwarz ta được:
\(\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{z^2}{y}+\dfrac{x^2}{z}>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}\)**
Từ * và ** suy ra \(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{b^2}}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{b}{c^2}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{c^2}}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{c}{a^2}+\frac{1}{c}\geq 2\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{2}{a}\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Đúng rồi bạn nhé.