Chứng minh rằng:
a) \(\dfrac{x}{y}\) + \(\dfrac{y}{z}\) + \(\dfrac{z}{x}\) với mọi x, y, z > 0
b) \(\dfrac{1}{x}\) + \(\dfrac{1}{y}\) \(\ge\) \(\dfrac{4}{x+y}\) với mọi x,y > 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 2 2022
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)
\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 3 2021
Ta có:
\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Ta có:
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}+1\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}\)
Tương tự ...
Cộng lại ta có:
\(2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+6\ge3\left(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}-\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{y}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{z}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{z}{y}}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 4 2020
\(x^8+x^8+y^8+y^8+y^8+z^8+z^8+z^8\ge8\sqrt[8]{x^{16}y^{24}z^{24}}=8x^2y^3z^3\)
Tương tự: \(3x^8+2y^8+3z^8\ge8x^3y^2z^3\)
\(3x^8+3y^8+2z^8\ge8x^3y^3z^2\)
Cộng vế với vế:
\(8\left(x^8+y^8+z^8\right)\ge8\left(x^2y^3z^3+x^3y^2z^3+x^3y^3z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^8+y^8+z^8}{x^3y^3z^3}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 5 2021
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow abc=1\)
\(P=\dfrac{a^2bc}{b+c}+\dfrac{ab^2c}{c+a}+\dfrac{abc^2}{a+b}=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(P=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 3 2021
\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy+3zx}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz+3xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2zx+3yz}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+5xy+5yz+5zx}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
4 tháng 6 2021
Áp dụng bđt bunhiacopxki có:
\(\left(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
AT
5 tháng 6 2021
BĐT này gọi là BĐT Cauchy-Schwarz đó bạn.
Chứng minh BĐT: \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Rightarrow\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge\left(a+b\right)^2.xy\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2-2abxy\ge0\Leftrightarrow\left(ay-by\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng BĐT trên vào đề:
Ta được: \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
a: Thiếu vế phải rồi bạn
b: \(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2>=0\)(luôn đúng)