Question

[Trần Thị Hảo]

Cho tam giác ABC nhọn, cân tại A

1. Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm BC. Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC . Chứng minh ΔABI = ΔBEC và BI ⊥ EC

2. Phân giác của góc ABC và góc BDC cắt AC, BC ở D, M. Phân giác của góc BDA cắt BC tại N. Chứng minh BD = 1/2 MN

Answer 1

[thanh]

hình bn tự vẽ nha

1.

+Góc IAB là góc ngoài của t/g ABH nên

IAB = ABH + AHB = ABH + 90⁰

+ Ta có EBC = EBA + ABC = ABC + 90⁰

⇒Góc IAB = Góc EBC

+ Xét t/g AIB và BCE có:

AI=BC(gt)

BE=BA(gt)

Góc IAB = Góc EBC(cmt)

⇒ t/g ABI = BEC (c.g.c )

⇒Góc AIB = BCE

+Trong t/g vuông IHB vuông tại H có: AIB + IBH = 90⁰

Do đó: BCE + IBH = 90⁰

⇒ BI ⊥ EC

2.

+Do t/c của đường phân giác , ta có DM ⊥ DN

+Gọi F là trung điểm của MN. Ta có FM = FD = FN

+ Tam giác FDM cân tại F nên góc FMD = góc MDF

FMD = MBD + BDM ( góc ngoài của tam giác)

= MBD + CDM

⇒ MBD = CDF(1)

Ta có MCD = CDF + CFD (2)

Do tam giác ABC cân tại A nên MCD = 2MBD(3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ MBD = DFC hay tam giác DBF cân tại D

Do đó: BD = DF = \(\dfrac{1}{2}MN\)

CHÚC BN HỌC TỐT NHA ^-^

Answer 2

[Đỗ Thị Huyền Trang]

1.

HB = HC ( H là trung điểm BC )

\(\Rightarrow\) AH là đường trung tuyến của ΔABC

mà ΔABC cân tại A

\(\Rightarrow\) AH đồng thời là đường cao \(\Rightarrow\) \(\widehat{AHB}\) = 90\(^O\)

Ta có :

\(\widehat{BAI}\) = \(\widehat{ABH}\) + \(\widehat{AHB}\) ( góc ngoài của ΔAHB )

mà \(\widehat{AHB}\) = 90\(^O\) (cmt)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{BAI}\)= \(\widehat{ABH}\) + 90\(^O\)

\(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ABE}\)

mà \(\widehat{ABE}\) = 90\(^O\) ( ΔABE vuông cân tại B )

\(\Rightarrow\) \(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{ABC}\) + 90\(^O\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAI}\) = \(\widehat{EBC}\)

Xét ΔABI và ΔBEC có :

AB = BE ( ΔABE vuông cân tại B )

\(\widehat{BAI}\) = \(\widehat{EBC}\) ( cmt )

AI = BC (gt)

\(\Rightarrow\) ΔABI = ΔBEC ( c.g.c )

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AIB}\) = \(\widehat{BCE}\) ( hai góc tương ứng )

IB \(\cap\) EC = \(\left\{O\right\}\)

\(\widehat{AIB}\) + \(\widehat{IBH}\) = 90\(^O\) ( tính chất Δvuông )

mà \(\widehat{AIB}\) = \(\widehat{BCE}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BCE}\) + \(\widehat{IBH}\) = 90\(^O\)

hay BO \(\perp\) EC

mà BO \(\equiv\) BI \(\Rightarrow\) BI \(\perp\) EC