Question

[Đẹp Trai Không Bao Giờ Sai]

Cho △ABC cân ở A. Kẻ các đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, Trên tia đối của tia CA lấy điểm N. Sao cho BM=CN

C/m:

a) \(\Delta BEC=\Delta CDB\)

b)\(\Delta ECN=\Delta DBM\)

c) ED // MN

Answer 1

[Ngô Thành Chung]

a, Vì ΔABC cân tại A ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\)

Vì BD ⊥ AC ⇒ \(\widehat{BDA}=\widehat{BDC}=90^0\)

CE ⊥ AB ⇒ \(\widehat{CEA}=\widehat{CEB}=90^0\)

Xét ΔBEC và ΔCDB có

\(\widehat{CEB}=\widehat{BDC}=90^0\)(cmt)

BC chung

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)(cmt)

⇒ ΔBEC = ΔCDB (ch.gn) (đpcm)

b, Vì ΔBEC=ΔCDB ⇒ CE=BD (2 cạnh tương ứng)

Vì \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=\widehat{C_1}+\widehat{C_2}\)(1)

Vì ΔBEC=ΔCDB ⇒ \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (2 góc tướng ứng) (2)

Từ (1), (2) ⇒ \(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) (3)

Ta có \(\widehat{B_2}+\widehat{MBD}=180^0\) (kề bù) (4)

\(\widehat{C_2}+\widehat{ECN}=180^0\)(kề bù) (5)

Từ (3), (4), (5) ⇒ \(\widehat{DBM}=\widehat{ECN}\)

Xét ΔECN và ΔDBM có

EC=BD (cmt)

\(\widehat{DBM}=\widehat{ECN}\) (cmt)

BM=CN (GT)

⇒ ΔECN=ΔDBM (c.g.c) (đpcm)

c, Vì ΔBEC=ΔCDB ⇒ BE=DC (2 cạnh tương ứng)

Vì AB=AC ⇒ AE+EB=AD+DC

Mà BE=DC

⇒ AE=AD

⇒ ΔAED cân tại A

⇒ \(\widehat{E_1}=\widehat{D_1}\)

ΔAEC có \(\widehat{A}+\widehat{E_1}+\widehat{D_1}=180^0\) Mà \(\widehat{E_1}=\widehat{D_1}\)

⇒ \(2\widehat{E_1}=180^0-\widehat{A}\)

⇒ \(\widehat{E_1}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\) (6)

Vì BM=CN

AB=AC

⇒ AB+BM=AC+CN

⇒ AM=AN

⇒ ΔAMN cân

⇒ \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

ΔAMN có \(\widehat{A}+\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=180^0\) Mà \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

⇒ \(2\widehat{AMN}=180^0-\widehat{A}\)

⇒ \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(7)

Từ (6), (7) ⇒ \(\widehat{E_1}=\widehat{AMN}\)

Mà 2 góc ở vị trí đồng vị

⇒ ED // MN (đpcm)

chúc bạn học tốt và sống đúng theo tên Đẹp Trai Không Bao Giờ Sai