Cmr nếu a,b,c > 0 thì \(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}>\dfrac{3}{a+b+c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 1 2019
3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)
\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)
Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :
\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
31 tháng 3 2017
Bài 2:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Trước hết ta chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\). Ta lại có:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Thiết lập các BĐT tương tự:
\(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c};\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge2\)
Dấu "=" không xảy ra nên ta có ĐPCM
Lưu ý: lần sau đăng từng bài 1 thôi nhé !
31 tháng 3 2017
1) Áp dụng liên tiếp bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với a;b là 2 số dương ta có:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{4}\)\(\le\dfrac{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
TT: \(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
\(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{16}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=1\left(đpcm\right)\)
HN
2
27 tháng 8 2018
Lớp 9 chưa học cauchy thì làm cách này nha :v
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}\)
\(=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}+1+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\)
\(=3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)\ge3+2+2+2=9\)
\(-->đpcm\) \("="\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
27 tháng 8 2018
áp dụng cauchy-schwarz dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}=9\left(đpcm\right)\)
KK
4 tháng 8 2018
Bài 1
\(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}=a-\dfrac{a^2}{a+1}+b-\dfrac{b^2}{b+1}+c-\dfrac{c^2}{c+1}\)
\(=1-\left(\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}+\dfrac{c^2}{c+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy dạng phân thức \(\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}+\dfrac{c^2}{c+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{1}{1+3}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow1-\left(\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}+\dfrac{c^2}{c+1}\right)\le1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow GTLN=\dfrac{3}{4}\) Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Bài 2
\(P=\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}=\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}+\dfrac{1}{a^2+1}\)
Xét \(\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}+b-\dfrac{bc^2}{c^2+1}+c-\dfrac{a^2c}{a^2+1}\)
Xét \(\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}+\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{b^2}{b^2+1}+1-\dfrac{c^2}{c^2+1}+1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\)
\(\Rightarrow P=6-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}+\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số thực dương ta có \(b^2+1\ge2b\Rightarrow\dfrac{ab^2}{b^2+1}\le\dfrac{ab^2}{2b}=\dfrac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)
Theo hệ quả của bđt Cauchy ta có \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow3\ge ab+bc+ac\) \(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{2}\Rightarrow\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{3}{2}\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số thực dương ta có \(a^2+1\ge2a\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}\le\dfrac{a^2}{2a}=\dfrac{a}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\le\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge6-\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\right)=3\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=1\)
4 tháng 8 2018
Bài 1 : Ta có : \(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}=\dfrac{a^2}{a^2+a}+\dfrac{b^2}{b^2+b}+\dfrac{c^2}{c^2+c}\)
Theo BĐT CÔ - SI dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{a^2}{a^2+a}+\dfrac{b^2}{b^2+b}+\dfrac{c^2}{c^2+c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2+1}\le\dfrac{1}{\dfrac{1}{a+b+c}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}+1}=\dfrac{4}{3}\)
Híc híc rối nùi luôn rồi , chắc sai ...
HN
21 tháng 7 2018
Chắc đề bị nhầm rồi.
\(\dfrac{a}{\sqrt{b+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+1}}\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{3+b}+\dfrac{b}{3+c}+\dfrac{c}{3+a}\right)\)
\(\ge2\sqrt{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)}\ge2\sqrt{2}.\dfrac{9}{9+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=2\sqrt{2}.\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 7 2018
Bài 1:
\(P=(x+1)\left(1+\frac{1}{y}\right)+(y+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)\)
\(=2+x+y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\)
\(x+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)
\(y+\frac{1}{2y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)
Áp dụng BĐT SVac-xơ kết hợp với Cô-si:
\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\geq \frac{4}{2x+2y}=\frac{2}{x+y}\geq \frac{2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Cộng các BĐT trên :
\(\Rightarrow P\geq 2+2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)
Vậy \(P_{\min}=4+3\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 7 2018
Bài 2:
Áp dụng BĐT Svac-xơ:
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+a+2c}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+c+2a}\geq \frac{4}{2b+4c+2a}=\frac{2}{b+2c+a}\)
\(\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{c+a+2b}\geq \frac{4}{2c+4a+2b}=\frac{2}{c+2a+b}\)
Cộng theo vế và rút gọn :
\(\Rightarrow \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
18 tháng 9 2017
Đề sai, ngược dấu rồi.
Ta chứng minh BĐT phụ sau: \(\dfrac{x}{x+1}\le\dfrac{9}{16}x+\dfrac{1}{16}\left(\forall x\in0;1\right)\)
Thật vậy: \(\dfrac{x}{x+1}\le\dfrac{9}{16}x+\dfrac{1}{16}\)
\(\Leftrightarrow0\le\dfrac{9x+1}{16}-\dfrac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow0\le\dfrac{\left(9x+1\right)\left(x+1\right)-16x}{16\left(x+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow0\le9x^2-6x+1=\left(3x-1\right)^2\)(Luôn đúng \(\forall x\in0;1\))
Áp dụng vào bài, ta được:
\(\dfrac{a}{a+1}\le\dfrac{9}{16}a+\dfrac{1}{16}\)
\(\dfrac{b}{b+1}\le\dfrac{9}{16}b+\dfrac{1}{16}\)
\(\dfrac{c}{c+1}\le\dfrac{9}{16}c+\dfrac{1}{16}\)
Cộng vế theo vế ta được đpcm
Áp dụng BĐT Cauchy - schwarz dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{4,5}{a+b+c}>\dfrac{3}{a+b+c}\)