cho x>0 y>0 và x+y=1 chứng minh \(8\left(x^4+y^4\right)+\dfrac{1}{xy}\ge5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LV
0
VT
1
HQ
1
8 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\ge\frac{1}{\frac{1}{4}}=4\)
Do đó BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow8\left(x^4+y^4\right)+4\ge5\)
Ta cần chứng minh BĐT sau là đủ : \(8\left(x^4+y^4\right)\ge1\)
Thật vậy: Áp dụng BĐT Cô-si :
\(x^4+\frac{1}{16}\ge\frac{x^2}{2};y^4+\frac{1}{16}\ge\frac{y^2}{2}\)
Cộng vế : \(x^4+y^4+\frac{1}{8}\ge\frac{x^2+y^2}{2}\ge\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}{2}\ge\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4\ge\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow8\left(x^4+y^4\right)\ge1\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
HT
7 tháng 5 2015
có bđt: a²+b² ≥ (a+b)²/2 (*)
(*) <=> 2a²+2b² ≥ a²+b²+2ab <=> a²+b²-2ab ≥ 0 <=> (a-b)² ≥ 0 bđt đúng, dấu "=" khi a = b
- - -
ad (*) 2 lần liên tiếp:
x^4 + y^4 ≥ (x²+y²)²/2 ≥ [(x+y)²/2]²/2 = (x+y)^4 /8 = 1/8
=> 8(x^4 + y^4) ≥ 1 (*)
mặt khác, có bđt: (x-y)² ≥ 0 <=> x²+y² ≥ 2xy <=> x²+y²+2xy ≥ 4xy <=> (x+y)² ≥ 4xy
=> 1/xy ≥ 4/(x+y)² = 4 (**)
(*) + (**): 8(x^4 + y^4) + 1/xy ≥ 1+4 = 5 (đpcm) dấu "=" khi x = y = 1/2
19 tháng 11 2021
\(ĐK:x\ne y;x\ne-y;x^2+xy+y^2\ne0;x^2-xy+y^2\ne0\)
\(A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\left[1:\dfrac{\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]\\ A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\\ A=x-y=B\)
\(x=0;y=0\Leftrightarrow B=0\)
Giá trị của A không xác định vì \(x=y\) trái với ĐK:\(x\ne y\)
Vậy \(A\ne B\)
D
0
12 tháng 1 2020
\(A=8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{2xy}\ge8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{2xy}\)
\(\Rightarrow A\ge8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{2\sqrt{2\left(x^4+y^4\right)}}+\frac{1}{2\sqrt{2\left(x^4+y^4\right)}}+\frac{1}{2\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}\)
\(\Rightarrow A\ge3\sqrt[3]{8\left(x^4+y^4\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{2\left(x^4+y^4\right)}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2\left(x^4+y^4\right)}}}+\frac{1}{2\cdot\frac{1}{4}}=3+2=5\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
UK
11 tháng 11 2017
Từ giả thiết suy ra:
\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+2\right)+\left(x+y+2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+2\right)\left(2x^2+2y^2-2xy+2x+2y+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+2\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+2\right]=0\)
\(\Rightarrow x+y=-2\)
Mà xy>0 nên x,y cùng nhỏ hơn 0
Áp dụng AM-GM,ta có: \(\sqrt{\left(-x\right)\left(-y\right)}\le\dfrac{-x-y}{2}=1\)
\(\Rightarrow xy\le1\Rightarrow\dfrac{-2}{xy}\le-2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-2}{xy}\le-2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 1 2022
Đặt \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}\right)\)
BĐT trở thành: \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{16ab}{a+b}\ge5\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3}{ab}+\dfrac{16ab}{a+b}-5\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)+16a^2b^2-5ab\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^4}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) (luôn đúng)
\(\left\{{}\begin{matrix}x;y>0\\x+y=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow0< xy=t\le\dfrac{1}{4}\)
\(x^4+y^4=\left(1-2t\right)^2-2t\)
\(8\left(x^4+y^4\right)+\dfrac{1}{xy}\ge5\Leftrightarrow A=8\left[\left(1-2t\right)^2-2t\right]+\dfrac{1}{t}-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow16t^2-32t+\dfrac{1}{t}+3\ge0\)\(\Leftrightarrow16t^3-32t^2+3t+1\ge0\)
<=>\(16t^3-4t^2-28t^2+7t-4t+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow4t^2\left(4t-1\right)-7t\left(4t-1\right)-\left(4t-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(4t-1\right)\left(4t^2-7t-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow B=\left(4t-1\right)\left(8t-7-\sqrt{65}\right)\left(8t-7+\sqrt{65}\right)\ge0\)
\(0< t\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}4t-1\le0\\8t-7+\sqrt{65}>0\\8t-7-\sqrt{5}< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\ge0\)
mọi phép biến đổi <=> => dpcm
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz nhiều lần, cộng với BĐT phụ \(\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\), ta có:
\(8\left(x^4+y^4\right)+\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{8\left(x^2+y^2\right)^2}{2}+\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\left(x^2+y^2\right)^2+4\ge4\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2+4=5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)