Tìm các số nguyên a,b không âm sao cho \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2009}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 3 2023
Áp dụng BĐT Mincopxki:
\(P\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Lại có do \(a;b;c\ge0\) nên:
\(a^2+2b^2\le a^2+2\sqrt{2}ab+2b^2=\left(a+\sqrt{2}b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2b^2}\le a+\sqrt{2}b\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow P\le\left(\sqrt{2}+1\right)\left(a+b+c\right)=\sqrt{2}+1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị
D
8 tháng 5 2022
GTNN là tắt của giá trị nhỏ nhất,
Trong bài này bạn biến đổi sao cho biểu thức \(P\ge a\) (số a là số biết trước)
VD: Bạn đưa về dạng nào đó của biểu thức mà nó luôn lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) Bạn có thể viết \(P\ge\dfrac{1}{3}\) thì GTNN của \(P=\dfrac{1}{3}\) hay \(minP=\dfrac{1}{3}\)
Tìm được GTNN rồi thì bạn tìm ẩn để dấu "=" xảy ra, nghĩa là để BĐT xảy ra dấu =, lúc đó biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất,
VD như: \(minP=\dfrac{1}{3}\) <=> Dấu = xảy ra
<=> x = b (x là ẩn và b là biết trước)
Ở một số bài có thể cho điều kiện của ẩn.
DT
0
2 tháng 10 2021
Tham khảo:
Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\s... - Hoc24
4 tháng 9 2021
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=3\left(2a+2b+2c\right)=3.2\left(a+b+c\right)=6.2021=12126\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{12126}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)
VN
9 tháng 5 2022
\(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}\sqrt{c+a}\)
Aps dụng Bunhia-cốpxki : \(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=6\left(a+b+c\right)\)
\(=6.2021=12126\Leftrightarrow P=\sqrt{12126}\)
Vậy \(Max\left(P\right)=\sqrt{12126}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)
(Refer ;-;)
1 tháng 1 2020
bài này hay đấy
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm, ta có :
\(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}.\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}.\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}}=3\)
Chứng minh \(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\le3+a+b+c\)( 1 )
đặt \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)( x,y,z \(\ge\)0 )
do a,b,c là số nguyên
Nếu a = b = c = 0 thì x = y = z = 0 nên ( 1 ) đúng
Nếu a,b,c không đồng thời bằng 0 \(\Rightarrow\)x+ y + z \(\ge\)1
Ta có : VT ( 1 )
\(\Leftrightarrow\frac{\left(1+x\right)\left(1+y\right)-\left(1+x\right)y}{1+y}+\frac{\left(1+y\right)\left(1+z\right)-\left(1+y\right)z}{1+z}+\frac{\left(1+z\right)\left(1+x\right)-\left(1+z\right)x}{1+z}\)
\(=3+x+y+z-\left[\frac{\left(1+x\right)y}{1+y}+\frac{\left(1+y\right)z}{1+z}+\frac{\left(1+z\right)x}{1+x}\right]\)
\(\le3+x+y+z-\frac{\left(1+x\right)y+\left(1+y\right)z+\left(1+z\right)x}{1+x+y+z}=3+x+y+z-\frac{x+y+z+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\)
\(=3+\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\le3+x^2+y^2+z^2\)
Cần chứng minh : \(\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz}{1+x+y+z}\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xz\)
Mà \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge1.\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xz\)
suy ra đpcm
Xem tại đây nhé bạn. https://youtu.be/quECgYPNCXw
xem cái này toàn tiếng anh á