cho a,b,c là các số thực dương.CMR:\(\dfrac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^5}{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2022
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2-bc}=\dfrac{2a^2}{2a^2+b^2+c^2+\left(b-c\right)^2}\le\dfrac{2a^2}{2a^2+b^2+c^2}=\dfrac{2a^2}{a^2+b^2+a^2+c^2}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{a^2}{a^2+c^2}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2-ac}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}\right)\)
\(\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2-ab}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^2+a^2}{a^2+c^2}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
UK
16 tháng 12 2017
Lời giải ở đây: https://hoc24.vn/hoi-dap/question/486195.html
16 tháng 10 2017
Từ \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\). Tức cần chứng minh
\(\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{b^3}{c^2-ac+a^2}+\dfrac{c^3}{a^2-ab+b^2}\ge a+b+c\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{a^4}{ab^2-abc+ac^2}+\dfrac{b^4}{bc^2-abc+a^2b}+\dfrac{c^4}{a^2c-abc+b^2c}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+a^2b+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-3abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2b+a^2b+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-3abc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+abc\left(a+b+c\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ca\left(c^2+a^2\right)\)
Đúng theo Schur bậc 4
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2021
\(\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}-1+\dfrac{2}{b+2}-1+\dfrac{2}{c+2}-1\ge2-3\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}=\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2a+b^2+2b+c^2+2c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\) đpcm
18 tháng 9 2021
Phía trên thoả mãn \(\ge1\) chứ không phải 3/2 đâu ạ
23 tháng 9 2021
Áp dụng BĐT Cosi:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+ab}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2\left(b^2+ab\right)}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}\ge\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{2b+a+b}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{a+3b}\)
Cmtt: \(\dfrac{b}{\sqrt{c^2+bc}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}b}{b+3c};\dfrac{c}{\sqrt{a^2+ca}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}c}{c+3a}\)
\(\Leftrightarrow P\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge2\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
25 tháng 6 2023
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:
(a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) ≥ 2ab + 2bc + 2ca
=> 2(a2 + b2 + c2 ) ≥ 2 (ab + bc + ca) (1) (a2 + 1) + (b2 + c2) + (c2 + a2) ≥ 2a + 2b + 2c
=> a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c) (2)
Cộng các vế của (1) và (2) ta có:
3 ( a2 + b2 + c2 ) + 3 ≥ 2 (ab + bc + ca + a + b + c)
=> 3( a2 + b2 + c2 ) + 3 ≥ 12 => a2 + b2 + c2 ≥ 3.
Ta có: (a^3/b + ab ) + ( b^3/c + bc ) + ( c^3/a + ca)≥ 2(a2 + b2 + c2) (CÔ SI)
<=>a^3/b + b^3/c + c^3/a +ab + bc + ac ≥ 2(a2 + b2 + c2)
Vì a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca => a^3 + b^3 + c^3 ≥ a2 + b2 + c2 ≥ 3 (đpcm).
TA
25 tháng 6 2023
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (1)
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\) (2)
Cộng (1) với (2)
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge12\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Ta có: \(\left(\dfrac{a^3}{b}+ab\right)+\left(\dfrac{b^3}{c}+bc\right)+\left(\dfrac{c^3}{a}+ca\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\) (đpcm).
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy_ Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{a^6}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^6}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^6}{c^3+c^2a+ca^2}\)
\(\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+c^2a+ca^2}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}\) (I)
Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a^3+a^3+b^3\geq 3a^2b\\ b^3+b^3+c^3\geq 3b^2c\\ c^3+c^3+a^3\geq 3c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a\) (1)
Tương tự:
\(\left\{\begin{matrix} a^3+b^3+b^3\geq 3ab^2\\ b^3+c^3+c^3\geq 3bc^2\\ c^3+a^3+a^3\geq 3ca^2\end{matrix}\right.\Rightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\geq 3(ab^2+bc^2+ca^2)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq ab^2+bc^2+ca^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)\leq 3(a^3+b^3+c^3)\) (II)
Từ \((I);(II)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{3(a^3+b^3+c^3)}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)