Question

[Bùi Lê Vy]

CMR n^4 +2n^3-n^2 -2n chia hết cho 24 với mọi n thuộc Z

Answer 1

[Kien Nguyen]

ta có:

n⁴ + 2n³ - n² - 2n

= n⁴ - n³ + 3n³ - 3n² + 2n² - 2n

= (n⁴ - n³) + (3n³ - 3n²) + (2n² - 2n)

= n³(n - 1) + 3n²(n - 1) + 2n(n - 1)

= (n³ + 3n² + 2n)(n - 1)

= (n³ + n² + 2n² + 2n)(n - 1)

= [n²(n + 1) + 2n(n + 1)](n - 1)

= (n² + 2n)(n + 1)(n - 1)

= (n - 1)n(n + 1)(n + 2)

Vì bốn số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 24

=> (n - 1)n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 24

Hay n⁴ + 2n³ - n² - 2n chia hết cho 24

Answer 2

[Serena chuchoe]

dài quá man's :v

\(A=n^4+2n^3-n^2-2n=n\left(n^3+2n^2-n-2\right)=n\left[\left(n^3-n\right)+\left(2n^2-2\right)\right]\)

\(=n\left[n\left(n^2-1\right)+2\left(n^2-1\right)\right]=n\left(n^2-1\right)\left(n+2\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

vì tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24

<=> A \(⋮24\) --> đpcm