Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = \(\dfrac{1}{1+x^2}\) + \(\dfrac{4}{4+y^2}\)+ xy với xy \(\ge\)2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 9 2023
Lời giải:
Đặt $x=a; \frac{y}{2}=b$ thì bài toán trở thành:
Tìm min $A=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+2ab$ với $ab\geq 1$
----------------------------------
Với $ab\geq 1$, ta có BĐT khá quen thuộc:
$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}$ (để cm BĐT này bạn chỉ cần biến đổi tương đương)
Áp dụng vào bài và sử dụng thêm BĐT AM-GM:
$A\geq \frac{2}{ab+1}+2ab=\frac{2}{ab+1}+\frac{ab+1}{2}+\frac{3ab-1}{2}$
$\geq 2\sqrt{\frac{2}{ab+1}.\frac{ab+1}{2}}+\frac{3ab-1}{2}$
$=2+\frac{3ab-1}{2}\geq 2+\frac{3.1-1}{2}=3$
Vậy $A_{\min}=3$.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
\(y\ge xy+1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{y}{x}}\ge2\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(Q=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{\dfrac{y}{x}+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\)
\(Q=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}-\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{\left(a-4\right)\left(3a-1\right)}{4\left(a^2+1\right)}+\dfrac{5}{4}\ge\dfrac{5}{4}\)
\(Q_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 12 2020
\(A=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\left(\dfrac{1}{2xy}+8xy\right)+\dfrac{3}{xy}\)
\(A\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\dfrac{8xy}{2xy}}+\dfrac{3}{\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}\ge20\)
\(A_{min}=20\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 8 2021
\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=a\Rightarrow0< a\le\dfrac{1}{4}\)
\(P=\dfrac{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-\dfrac{2x}{y}+2}{\dfrac{x}{y}+1}=\dfrac{a^2-2a+2}{a+1}=\dfrac{4a^2-8a+8}{4\left(a+1\right)}=\dfrac{4a^2-13a+3+5\left(a+1\right)}{4\left(a+1\right)}\)
\(P=\dfrac{5}{4}+\dfrac{\left(1-4a\right)\left(3-a\right)}{4\left(a+1\right)}\ge\dfrac{5}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
NR
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2021
\(M=3\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{12}{2xy+x^2+y^2}+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{14}{\left(x+y\right)^2}=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
2 tháng 3 2021
Áp dụng bđt đã cho ta có \(M=4\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)-\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{16}{2xy+x^2+y^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=14\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)