x,y,z>0 thỏa 3x2 + 4y2 + 5z2 = 2xyz Tìm:
Min P = 3x + 2y +z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
0
K
0
17 tháng 10 2020
Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
KN
17 tháng 10 2020
Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương, ta được: \(\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+2y+3z}.\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)}=\frac{1}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{x+2y+3z}\ge\frac{11}{36}x-\frac{1}{18}y-\frac{1}{12}z\)Tương tự, ta có: \(\frac{y^2}{y+2z+3x}\ge\frac{11}{36}y-\frac{1}{18}z-\frac{1}{12}x\); \(\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{11}{36}z-\frac{1}{18}x-\frac{1}{12}y\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được: \(G=\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{y^2}{y+2z+3x}+\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2
G
8 tháng 7 2019
\(A=\sqrt{\frac{x}{2y^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{y}{2x^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{z}{2x^2y^2+xyz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{2xyz.yz+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{2xyz.xz+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{2xyz.xy+xz.yz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(xy+yz+xz\right)+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{xz\left(xy+yz+xz\right)+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(xy+yz+xz\right)+xz.yz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{\left(yz+xy\right)\left(yz+xz\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{\left(xz+xy\right)\left(xz+yz\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{\left(xy+yz\right)\left(xy+xz\right)}}\)
Áp dụng bđt \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\) ta có:
\(2A\le\frac{x}{yz+xy}+\frac{x}{yz+xz}+\frac{y}{xz+xy}+\frac{y}{xz+yz}+\frac{z}{xy+yz}+\frac{z}{xy+xz}\)
\(=\frac{x+z}{yz+xy}+\frac{x+y}{yz+xz}+\frac{y+z}{xz+xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Mà: \(xy+yz+xz=2xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)
\(\Rightarrow2A\le2\Rightarrow A\le1."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{3}{2}\)
NA
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
12 tháng 8 2021
\(P=x+y+z+\frac{3}{4x}+\frac{9}{8y}+\frac{1}{z}\)
\(=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4x}+\frac{1}{2}y+\frac{9}{8y}+\frac{1}{4}z+\frac{1}{z}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}z\)
\(\ge\frac{3}{2}\sqrt{x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{\frac{1}{2}y.\frac{9}{8y}}+2\sqrt{\frac{1}{4}z.\frac{1}{z}}+\frac{1}{4}.10\)
\(=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+1+\frac{5}{2}=6,5\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1,5\\z=2\end{cases}}\).
T
31 tháng 7 2019
Em thử, sai thì thôi nha, chỗ đặt xong rồi thay vào P em ko biết mình có tính đúng hay sai nữa!
giả thiết \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\).
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\) thì a + b + c = 2; a, b, c > 0 và:
\(P=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2/3 hay \(x=y=z=\frac{3}{2}\)