Cho 3 số a, b, c thỏa mãn \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=6abc\).
CMR: \(a^3+b^3+c^3=3abc\left(a+b+c\right)\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 4 2020
Lời giải:
Ta có:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$
$=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)$
$=(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)$
$=(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2-3ab]=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
$=\frac{1}{2}(a+b+c).6abc=3abc(a+b+c)$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(a+b+c+1)$ (đpcm)
15 tháng 11 2021
Bài 1:
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\Leftrightarrow bc=-ab-ac\)
\(\dfrac{a^2}{a^2+2bc}=\dfrac{a^2}{a^2+bc-ab-ac}=\dfrac{a^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
CMTT: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b^2+2ca}=\dfrac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}\\\dfrac{c^2}{c^2+2ab}=\dfrac{c^2}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\end{matrix}\right.\)
\(M=\dfrac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=1\)
Bài 2:
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+c^3-3abc-3a^2b-3ab^2\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)(do \(a+b+c=0\))
\(\Rightarrow A=\dfrac{0}{\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3}=0\)
HM
16 tháng 11 2021
chị giải thích cho em cái đoạn này với ạ
\(\dfrac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 6 2021
Bài này đã có ở đây:
Cho abc=1CMR\(\dfrac{a+3}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{b+3}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{c+3}{\left(c+1\right)^2}\ge3\) - Hoc24
4 tháng 3 2018
=> Theo bđt cô si ta có : B≥33√(x2+1y2 )(y2+1z2 )(z2+1x2 )
=> B≥33√2·xy ·2·yz ·2·zx =33√8=6
( Chỗ này là thay x2+1y2 ≥2√x2y2 =2·xy và 2 cái kia tương tự vào )
=> Min B=6
Mình nhầm chỗ câu b, sửa lại là :
B≥33√√(x2+1y2 )(y2+1z2 )(z2+1x2 )
Bạn làm tương tự => B≥3√2.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
ĐKXĐ: \(abc\ne0\)
\(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
TH1: \(a+b+c=0\)
\(P=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\dfrac{\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)}{abc}=-1\)
TH2: \(a=b=c\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
Lời giải:
Ta có:
\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=3abc\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=3abc\)
Đặt \((a+b+c,ab+bc+ac,abc)=(p,q,r)\)
\(\Rightarrow p^2-3q=3r\)
Khi đó, \(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=p(p^2-3q)+3r=3pr+3r\)
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc(a+b+c+1)\)
Chắc bạn viết thiếu.