Question

[Minh Hiếu Trương]

Bày dùm mình câu 6 với

Answer 1

[Akai Haruma]

Câu 6:

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình:

\(y'=3x^2-12x+3(m+2)=0\Leftrightarrow x^2-4x+(m+2)=0\) phải có hai nghiệm phân biệt

Điều kiện: \(\Delta'=4-(m+2)=2-m>0\Leftrightarrow m<2\)

Áp dụng định lý Viete, nếu \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của PT trên thì thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=4\\ x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)

a) Để hàm số có hai điểm cực trị nằm trong khoảng \((0,+\infty)\) thì

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2>0\\ x_1x_2=m+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4>0\\ m>-2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(-2< m<2\)

b) Hàm số có hai điểm cực trị nằm trong khoảng \((-\infty,1)\Leftrightarrow x_1-1,x_2-1<0\)

\(\Rightarrow x_1+x_2<2\Leftrightarrow 4<2\) (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ thỏa mãn điều kiện này.

c) Biến đổi:

\(y=(x-2)y'+(m-2)(2x+1)\)

Nếu \(y_1,y_2\) là các giá trị cực trị của hàm số thì \(y'=0\), suy ra

\(y_1=(m-2)(2x_1+1),y_2=(m-2)(2x_2+1)\)

Vì \(y_1,y_2\in (0,+\infty)\Rightarrow \)

\(\left\{\begin{matrix} y_1+y_2=(m-2)(2x_1+2x_2+2)>0\\ y_1y_2=(m-2)^2(2x_1+1)(2x_2+1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 10(m-2)>0\\ 4x_1x_2+2(x_1+x_2)+1=4m+17>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>2\)

Kết hợp với điều kiện của \(\Delta'\) suy ra không có $m$ thỏa mãn.