Question

[Đạt Nguyễn]

Các bạn giúp mình với!

1. GIả sử a,b,c là ba số khác nhau và \(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0\). Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)

2. Giả sử a,b,c là ba số khác nhau và khác 0 thỏa mãn điều kiện a+b+c=0. Chứng minh rằng:\(\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)\left(\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}\right)=9\)

Answer 1

[Unruly Kid]

1) Từ \(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0\), suy ra

\(\dfrac{a}{b-c}=\dfrac{b}{a-c}+\dfrac{c}{b-a}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)

Nhân cả 2 vế với \(\dfrac{1}{b-c}\Rightarrow\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(1\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}=\dfrac{c^2-bc+ba-a^2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\left(2\right)\)

\(\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=\dfrac{a^2-ca+bc-b^2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\left(3\right)\)

Cộng \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:

\(\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)

Answer 2

[Unruly Kid]

2) Đặt vế trái đẳng thức cần chứng minh là P

Đặt \(A=\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\), ta có:

\(A.\dfrac{c}{a-b}=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)=1+\dfrac{c}{a-b}.\dfrac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\)

\(=1+\dfrac{c}{a-b}.\dfrac{\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab}=1+\dfrac{2c^2}{ab}=1+\dfrac{2c^3}{abc}\)

Tương tự: \(A.\dfrac{a}{b-c}=1+\dfrac{2a^3}{abc},A.\dfrac{b}{c-a}=1+\dfrac{2b^3}{abc}\)

Vậy \(P=3+\dfrac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=9\)

P/S: \(a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)(Cái này tự chứng minh)