1/ Cho x, y, z \(\in\) Z thỏa \(x^2+y^2=2z^2\)
Chứng minh: \(x^2-y^2⋮48\)
2/ Tìm GTNN của:
\(A=3x^2-8x+1\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2.\) Bạn nghiêm túc gửi câu hỏi nhé!. Mình có lời giải rồi
Lời giải:
Biểu thức $P$ chỉ có min chứ không có max bạn nhé.
Nếu tìm min thì ta làm như sau:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:
$x^2+(\frac{3}{14})^2\geq 2\sqrt{x^2.(\frac{3}{14})^2}=\frac{3}{7}|x|\geq \frac{3}{7}x$
$y^2+(\frac{1}{14})^2\geq \frac{1}{7}|y|\geq \frac{1}{7}y$
$z^2+(\frac{1}{7})^2\geq \frac{2}{7}|z|\geq \frac{2}{7}z$
Cộng theo vế và thu gọn ta thu được:
$P+\frac{1}{14}\geq \frac{1}{7}(3x+y+2z)=\frac{1}{7}$
$\Rightarrow P\geq \frac{1}{14}$
Vậy $P_{\min}=\frac{1}{14}$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{1}{7})$
Tại sao lại ra những con số như trên, bạn tham khảo thêm phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT AM-GM.
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
Bạn tham khảo:
Cho ba số thực dương x;y;z thoả mãn \(5\left(x y z\right)^2\ge14\left(x^2 y^2 z^2\right)\) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nh... - Hoc24
đặt\(A=\dfrac{x^3}{2x+3y+5z}+\dfrac{y^3}{2y+3z+5x}+\dfrac{z^3}{2z+3x+5y}\)
\(=>A=\dfrac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\dfrac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\dfrac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)
BBDT AM-GM
\(=>A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
theo BDT AM -GM ta chứng minh được \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
vì \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(y^2+z^2\ge2yz\)
\(x^2+z^2\ge2xz\)
\(=>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)< =>xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(=>2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)\le10\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=>A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{10\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{10}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{10}=\dfrac{1}{30}\left(đpcm\right)\)
dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=1/3
Bài 2:
\(A=3x^2-8x+1\)
\(=3\left(x^2-\dfrac{8}{3}x+\dfrac{1}{3}\right)\)
\(=3\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{9}-\dfrac{13}{9}\right)\)
\(=3\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^2-\dfrac{13}{3}\ge-\dfrac{13}{3}\)
Dấu '=' xảy ra khi x=4/3