Cho ABC vuông tại A. Kẻ AH BC. Kẻ HP vuông góc với AB và kéo dài để có PE=PH. Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có QF=QH
a,C/m APE=APH, AQH=AQF
b,C/m E,A,F thẳng hàng và A là trung điểm của EF
c,C/m BE//CF
d, Cho AH=3cm.AC=4cm. Tính HC và EF
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét ΔAHP vuông tại P và ΔAEP vuông tại P có
AP chung
HP=EP(gt)
Do đó: ΔAHP=ΔAEP(Hai cạnh góc vuông)
Suy ra: \(\widehat{HAP}=\widehat{EAP}\)(hai góc tương ứng)
Xét ΔFAQ vuông tại Q và ΔHAQ vuông tại Q có
AQ chung
QF=QH(gt)
Do đó: ΔFAQ=ΔHAQ(hai cạnh góc vuông)
Suy ra: \(\widehat{FAQ}=\widehat{HAQ}\)(hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{FAE}=\widehat{FAQ}+\widehat{HAQ}+\widehat{HAP}+\widehat{PAE}\)
\(=2\cdot\left(\widehat{HAQ}+\widehat{HAP}\right)\)
\(=2\cdot90^0=180^0\)
hay F,A,E thẳng hàng
Ta có: AH=AE(ΔAHP=ΔAEP)
mà AH=AF(ΔAQF=ΔAQH)
nên AE=AF
Ta có: F,A,E thẳng hàng(cmt)
mà AE=AF(cmt)
nên A là trung điểm của FE(đpcm)
a: Xét ΔAPE vuông tại p và ΔAPh vuông tại P có
AP chung
PE=PH
DO đó: ΔAPE=ΔAPH
Xét ΔAQH vuông tại Q và ΔAQF vuông tại Q có
AQ chung
QH=QF
Do đó: ΔAQH=ΔAQF
b: Ta có: ΔAHP=ΔAEP
nen góc HAP=góc EAP
=>AB là phân giác của góc HAE(1)
Ta có: ΔAHQ=ΔAFQ
nen góc FAC=góc HAC
=>AC là phân giác của góc HAF(2)
Từ (1) và (2) suy ra góc FAE=2x90=180 độ
=>F,A,E thẳng hàng
mà AE=AF
nên A là trung điểm của FE
c: Xét ΔAHB và ΔAEB có
AH=AE
góc HAB=góc EAB
AB chung
Do đo: ΔAHB=ΔAEB
Suy ra: góc AEB=90 độ
=>BE vuông góc với EF(3)
Xét ΔCHA và ΔCFA có
CH=CF
AH=AF
CA chung
Do đó: ΔCHA=ΔCFA
Suy ra góc CFA=90 độ
=>CF vuông góc với FE(4)
Từ (3) và (4) suy ra BE//CF
Xét tam giác vuông FQA và tam giác vuông HQA:
QA chung
FQ = HQ
=> tam giác FQA = tam giác HQA (2 cạnh góc vuông) (1)
=> QAF = QAH (2 góc tương ứng)
Xét tam giác vuông HPA và tam giác vuông EPA:
AP chung
PH = PE
=> tam giác HPA = tam giác EPA (2 cạnh góc vuông) (2)
=> HAP = EAP (2 góc tương ứng)
Ta có: QAH + PAH =QAP =90o
và FAQ + QAH + HAP +PAE= 2 * QAH + 2* HAP = 2 (QAH + HAP) = 2* 90o = 180o
=> E, A, F thẳng hàng
Ta có:
HP _|_ AB; CA _|_ AB =>HP // AB
=> QAH = PHA (sole trong)
Xét tam giác vuông AQH và tam giác vuông HPA:
AH chung
QAH = PHA
=> tam giác AQH = tam giác HPA (cạnh huyền_ góc nhọn) (3)
Từ (1), (2), (3) => tam giác FQA = tam giác APE => AF= AE (2 cạnh tương ứng)
Mà E, A, F là 3 điểm thẳng hàng => A nằm giữa E và F.
Vậy E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF
a: Xét ΔAPE vuông tại p và ΔAPh vuông tại P có
AP chung
PE=PH
DO đó: ΔAPE=ΔAPH
Xét ΔAQH vuông tại Q và ΔAQF vuông tại Q có
AQ chung
QH=QF
Do đó: ΔAQH=ΔAQF
b: Ta có: ΔAHP=ΔAEP
nen góc HAP=góc EAP
=>AB là phân giác của góc HAE(1)
Ta có: ΔAHQ=ΔAFQ
nen góc FAC=góc HAC
=>AC là phân giác của góc HAF(2)
Từ (1) và (2) suy ra góc FAE=2x90=180 độ
=>F,A,E thẳng hàng
mà AE=AF
nên A là trung điểm của FE
a: Xét ΔAPE vuông tại p và ΔAPh vuông tại P có
AP chung
PE=PH
DO đó: ΔAPE=ΔAPH
Xét ΔAQH vuông tại Q và ΔAQF vuông tại Q có
AQ chung
QH=QF
Do đó: ΔAQH=ΔAQF
b: Ta có: ΔAHP=ΔAEP
nen góc HAP=góc EAP
=>AB là phân giác của góc HAE(1)
Ta có: ΔAHQ=ΔAFQ
nen góc FAC=góc HAC
=>AC là phân giác của góc HAF(2)
Từ (1) và (2) suy ra góc FAE=2x90=180 độ
=>F,A,E thẳng hàng
mà AE=AF
nên A là trung điểm của FE
c: Xét ΔAHB và ΔAEB có
AH=AE
góc HAB=góc EAB
AB chung
Do đo: ΔAHB=ΔAEB
Suy ra: góc AEB=90 độ
=>BE vuông góc với EF(3)
Xét ΔCHA và ΔCFA có
CH=CF
AH=AF
CA chung
Do đó: ΔCHA=ΔCFA
Suy ra góc CFA=90 độ
=>CF vuông góc với FE(4)
Từ (3) và (4) suy ra BE//CF
Bài làm
a) Xét ΔAPE và ΔAPH có:
AP (chung)
/ EPA = / HPA = 90o
PE = PH (gt)
Do đó: ΔAPE = ΔAPH( c−g−c )
Xét ΔAQH và ΔAQF có:
AQ (chung)
/ AQH = / AQF = 90o
AH = AF (gt)
Do đó: ΔAQH=ΔAQF(c−g−c)
b) Vì ΔAPE = ΔAPH ( cmt )
=> EA = AH ( hai cạnh t/ứng ) (1)
=> Tam giác EAH cân tại A
Vì ΔAQH = ΔAQF ( cmt )
=> AH = AF ( hai cạnh t/ứng ) (2)
Từ (1) và (2) => EA = AF
=> A là trung điểm của EF
~ Mik quên cách chứng minh thẳng hàng rồi. ~
# Học tốt #
a: Xét ΔAPE vuông tại p và ΔAPh vuông tại P có
AP chung
PE=PH
DO đó: ΔAPE=ΔAPH
Xét ΔAQH vuông tại Q và ΔAQF vuông tại Q có
AQ chung
QH=QF
Do đó: ΔAQH=ΔAQF
b: Ta có: ΔAHP=ΔAEP
nen góc HAP=góc EAP
=>AB là phân giác của góc HAE(1)
Ta có: ΔAHQ=ΔAFQ
nen góc FAC=góc HAC
=>AC là phân giác của góc HAF(2)
Từ (1) và (2) suy ra góc FAE=2x90=180 độ
=>F,A,E thẳng hàng
mà AE=AF
nên A là trung điểm của FE
=> Tam giác EAH cân tại A
Vì ΔAQH = ΔAQF ( cmt )
=> AH = AF ( hai cạnh t/ứng ) (2)
Từ (1) và (2) => EA = AF
=> A là trung điểm của EF
=> F,E,A thẳng hàng
a) Xét 2 tam giác vuông: \(\Delta APE\)và \(\Delta APH\)có:
\(AP:\)cạnh chung
\(PE=PH\)(gt)
suy ra: \(\Delta APE=\Delta APH\)(2 cạnh gv)
b) Xét 2 tam giác vuông: \(\Delta AQH\)và \(\Delta AQF\)có:
\(AQ:\)cạnh chung
\(QH=QF\)(gt)
suy ra: \(\Delta AQH=\Delta AQF\)(2 cạnh góc vuông)
c) \(\Delta APE=\Delta APH\)=> \(\widehat{EAP}=\widehat{HAP}\)
\(\Delta AQH=\Delta AQF\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{HAQ}=\widehat{FAQ}\)
suy ra: \(\widehat{EAP}+\widehat{FAQ}=\widehat{HAP}+\widehat{HAQ}=90^0\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EAF}=180^0\)
hay E, A, F thẳng hàng
a. Tam giac APE = tam giác APH (cgc)
Tam giác AQH = tam giác AQF (cgc)
b. Tam giac APE = tam giác APH (CMT) => goc EAP= goc HAP
=> goc EAH= 2 goc HAP
tg tu ta co goc HAF = 2 goc HAQ
Nen goc EAH + goc HAF=2(goc HAP+ goc HAQ)
=> goc EAH + goc HAF=2 goc BAC
=> goc EAH + goc HAF=2.90 do=180 do
=> E, A, F thang hang
c. Vì PE=PH, mà PH lại vuông góc vs AB
=> BP là đường trung trực của EH
=> ∆BEH là tam giác cân
=> Góc E= góc BHE
Tương tự vậy ∆CHF cũng cân
=> Góc F= góc CHF
Lại có HQ vuông góc AB, BA vuông AC( vì BAC là góc vuông)
=> AB//HQ
=> góc PHQ=90độ ( trong cùng phía vs góc AQH)
Vậy ta có góc EHB + góc FHC =90 độ
Ta có góc E+ góc EBH+góc EHB + góc FHC+ góc F+ FCH = 360 độ ( = tổng 6 gióc 2 tam giác BEH và CFH)
<=>2(góc EHB+góc FHC) + góc EBH + góc FCH = 360 độ
<=>2.90 độ + góc EBH + góc FCH = 360 độ
<=> góc EBH + góc FCH = 360 độ - 180 độ = 180 độ
Ta thấy Góc EBH và góc FCH ở vị trí trong cùng phía bù nhau
=>BE//CF
=> Tam giác EAH cân tại A
Vì ΔAQH = ΔAQF ( cmt )
=> AH = AF ( hai cạnh t/ứng ) (2)
Từ (1) và (2) => EA = AF
=> A là trung điểm của EF
=> F,E,A thẳng hàng
a) Xét tam giác vuông APE và APH có:
PE = PH (gt)
AP: cạnh chung
Vậy: \(\Delta APE=\Delta APH\left(hcgv\right)\)
Xét hai tam giác vuông AQH và AQF có:
QH = QF (gt)
AQ: cạnh chung
Vậy: \(\Delta AQH=\Delta AQF\left(hcgv\right)\).
b) Vì \(\Delta APE=\Delta APH\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\) AE = AH (hai cạnh tương ứng) (1)
Vì \(\Delta AQH=\Delta AQF\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\) AH = AF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE = AF hay A là trung điểm của EF.
d) \(\Delta AHC\) vuông tại H, theo định lí Py-ta-go
Ta có: AC2 = AH2 + HC2
\(\Rightarrow\) HC2 = AC2 - AH2
HC2 = 42 - 32
HC2 = 7
\(\Rightarrow\) HC = \(\sqrt{7}\) (cm).
Ta có: AE = AH (cmt)
Mà AH = 3cm
\(\Rightarrow\) AE = 3cm
Mà AE = AF (cmt)
\(\Rightarrow\) AF = 3cm
Vậy EF = AE + AF = 3 + 3 = 6 (cm).