Question

[Sách Giáo Khoa]

Giải các phương trình lôgarit sau:
a) \(log^{\left(2^x+1\right)}_2.log^{\left(2^{x+1}+2\right)}_2=2\);                       b) \(x^{log9}+9^{logx}=6\)
c) \(x^{3log^3x-\dfrac{2}{3}logx}=100\sqrt[3]{10}\)                        d) \(1+2log_{x+2}5=log^{\left(x+2\right)}_5\)

Answer 1

[Giang]

a)

Có:

\(log_2^{\left(2^x+1\right)}.log_2^{\left(2^{x+1}+2\right)}=2\)

\(\Leftrightarrow log_2^{\left(2^x+1\right)}.\left[1+log_2^{\left(2^{x+1}\right)}\right]=2\)

Đặt \(t=log_2^{\left(2^x+1\right)}\), ta có phương trình \(t\left(1+t\right)=2\Leftrightarrow t^2+t-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}log_2^{\left(2^x+1\right)}=1\\log_2^{\left(2x+1\right)}=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2^x+1=2\\2^x+1=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2^x=1\\2^x=-\dfrac{3}{4}\left(không-t.m\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=0\)

b)

Với điều kiện \(x>0\), ta có:

\(log.\left(x^{log9}\right)=log9.logx\) và \(log\left(9^{logx}=logx.log9\right)\)

nên \(log\left(x^{log9}\right)=log\left(9^{logx}\right)\)

\(\Rightarrow x^{log9}=9^{logx}\)

Đặt \(t=x^{log9}\), ta được phương trình \(2t=6\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow x^{log9}=3\)

\(\Leftrightarrow log\left(x^{log9}\right)=log3\Leftrightarrow log9.logx=log3\)

\(\Leftrightarrow logx=\dfrac{log3}{log9}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{10}\) (thỏa mãn điều kiện \(x>0\)).

c)

Với điều kiện \(x>0\), lấy lôgarit thập phân hai vế của phương trình đã cho, ta được:

\(\left(3log^3x-\dfrac{2}{3}logx\right).logx=\dfrac{7}{3}\)

Đặt \(t=logx\), ta được phương trình:

\(3t^4-\dfrac{2}{3}t^2-\dfrac{7}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow9t^4-2t^2-7=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t^2=1\\t^2=-\dfrac{7}{9}\left(không-t.m\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}logx=1\\logx=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\\x=\dfrac{1}{10}\end{matrix}\right.\)

d)

Đặt \(t=log_5^{\left(x+2\right)}\) với điều kiện \(x+2>0\), \(x+2\ne1\), ta có:

\(1+\dfrac{2}{t}=t\Leftrightarrow t^2-t-2=0,t\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}log_5^{\left(x+2\right)}=-1\\log_5^{\left(x+2\right)}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=\dfrac{1}{5}\\x+2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{9}{5}\\x=23\end{matrix}\right.\)