Cho x, y, z dương; x + y \(\le\) z
Cm:
(x2 + y2 + z2).(\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\))\(\ge\) \(\dfrac{27}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 1 2018
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge\dfrac{2x}{z}\); \(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{x}\); \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2z}{y}\)
Cộng ba vế bđt sau đó chia 2 ta được đpcm
TM
30 tháng 5 2017
\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)
tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)
=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4
Vậy minM=6 khi x=y=z=4
SY
0
PD
0
N
1
DH
1
NM
21 tháng 2 2021
Ta có:
x/x+y + y/y+z + z/z+x = 1+ y+ 1+z+ 1+x= 3+x+y+z
Do, x,y,z là các số nguyên dương nên 3+x+y+z> 3 >1
Dự đoán dấu = xảy ra khi x=y=\(\dfrac{z}{2}\)
ta có: \(VT=3+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\)
\(=3+\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{x^2}{z^2}\right)+\left(\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge2\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:\(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{x^2}{z^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{z}\right)^2=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{z^2}\)
\(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4z}{x+y}\right)^2=\dfrac{8z^2}{\left(x+y\right)^2}\)(AM-GM)
do đó \(VT\ge5+\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(x+y\right)^2}{z^2}+\dfrac{8z^2}{\left(x+y\right)^2}\)
Đặt \(\dfrac{z}{x+y}=a\)(a>0)thì \(a\ge1\)do \(z\ge x+y\)
\(VT\ge8a^2+\dfrac{1}{2a^2}+5=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{1}{2a^2}+\dfrac{15}{2}a^2+5\ge\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{1}{2a^2}+\dfrac{25}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{1}{2a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{4a^2}}=1\)
do đó \(VT\ge1+\dfrac{25}{2}=\dfrac{27}{2}\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=1 hay \(x=y=\dfrac{z}{2}\)