Cho a, b, c, d là những số dương.
Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{16}{a+b+c+d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KK
8 tháng 4 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
SG
1
BT
8 tháng 5 2017
Giả sử: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Vì vậy: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\).
HQ
15 tháng 2 2021
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
HQ
15 tháng 2 2021
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
N
12 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT Svacxơ:
\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{cd}+\dfrac{1}{da}\ge\dfrac{4}{ab+bc+cd+da}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\dfrac{4}{ab+bc+cd+da}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+c^2+d^2}\)
Ta cần c/m: \(\dfrac{4}{a^2+b^2+c^2+d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2\ge4\)
Áp dụng BĐT Svacxơ: \(\left(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{c^2}{1}+\dfrac{d^2}{1}\right)^2\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^{2^2}}{16}\)
mà a+b+c+d=4 nên: \(\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^4}{16}\ge\dfrac{64}{16}=4=VP\)
Vậy ta có đpcm.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Chỉ bằng các kiến thức cho trong SGK (bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm; bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số) có thể giả bài toán như sau:
Ta có \(\left(a+b+c+d\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)=\)
\(=a\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)+b\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)+c\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)+d\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
\(=4+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{d}+\dfrac{d}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{b}{d}+\dfrac{d}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{c}\right)\)
\(\ge4+2+2+2+2+2+2=16\)
Từ đó \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{16}{a+b+c+d}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a};\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{a};\dfrac{a}{d}=\dfrac{d}{a};\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{b};...\Leftrightarrow a=b=c=d\)