tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn \(\left(x+y-2\right)^2+7=\dfrac{14}{\left|y-1\right|+\left|y-3\right|}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) Vì \(\left|x+\dfrac{1}{1.3}\right| \ge0;\left|x+\dfrac{1}{3.5}\right|\ge0;...;\left|x+\dfrac{1}{97.99}\right|\ge0\)
\(\Rightarrow50x\ge0\Rightarrow x\ge0\)
Khi đó: \(\left|x+\dfrac{1}{1.3}\right|=x+\dfrac{1}{1.3};\left|x+\dfrac{1}{3.5}\right|=x+\dfrac{1}{3.5};...;\left|x+\dfrac{1}{97.99}\right|=x+\dfrac{1}{97.99}\left(1\right)\)
Thay (1) vào đề bài:
\(x+\dfrac{1}{1.3}+x+\dfrac{1}{3.5}+...+x+\dfrac{1}{97.99}=50x\)
\(\Rightarrow\left(x+x+...+x\right)+\left(\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+...+\dfrac{1}{97.99}\right)=50x\)
\(\Rightarrow49x+\left[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{97}-\dfrac{1}{99}\right)\right]=50x\)
\(\Rightarrow49x+\dfrac{16}{99}=50x\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{16}{99}\)
Vậy \(x=\dfrac{16}{99}.\)
Từ \(GT\Rightarrow\left|x-y-6\right|>x+y\)
- Nếu \(x\ge y+6\Rightarrow\left|x-y-6\right|=x-y-6>x+y\)
\(\Leftrightarrow-2y=6>0\).Mà y>0 =>vô lí
- Nếu \(x< y+6\Rightarrow\left|x-y-6\right|=y+6-x>x+y\)
\(\Leftrightarrow6-2x>0\Leftrightarrow x< 3\)
Mà x nguyên dương =>\(x\in\left\{1;2\right\}\)
- Với x=1 => y=3
- Với x=2 => \(y\notin N\text{*}\)
Vậy x=1;y=3
\(Q=\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)\left(1+\frac{\alpha}{y}\right)\left(1+\frac{\alpha}{z}\right)=\left(\frac{\alpha+x}{x}\right)\left(\frac{\alpha+y}{y}\right)\left(\frac{\alpha+z}{z}\right)\)
Mà \(\alpha=x+y+z\) (theo gt) nên ta có thể viết \(Q\) như sau:
\(Q=\left(\frac{2x+y+z}{x}\right)\left(\frac{x+2y+z}{y}\right)\left(\frac{x+y+2z}{z}\right)=\left(2+\frac{y+z}{x}\right)\left(2+\frac{x+z}{y}\right)\left(2+\frac{x+y}{z}\right)\)
Đặt \(a=\frac{y+z}{x};\) \(b=\frac{x+z}{y};\) và \(c=\frac{x+y}{z}\) \(\Rightarrow\) \(a,b,c>0\)
Khi đó, biểu thức \(Q\) được biểu diễn theo ba biến \(a,b,c\) như sau:
\(Q=\left(2+a\right)\left(2+b\right)\left(2+c\right)=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc+8\)
\(\Rightarrow\) \(Q-8=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc\)
Mặt khác, ta lại có:
\(a+b+c=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\)
nên \(a+b+c+3=\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1+\frac{x+y}{z}+1\)
\(\Rightarrow\) \(a+b+c+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Lại có: \(\hept{\begin{cases}x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\text{ (1)}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\text{ (2)}\end{cases}}\) (theo bđt \(Cauchy\) lần lượt cho hai bộ số gồm các số không âm)
Nhân hai bđt \(\left(1\right);\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được bđt mới là:
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
Theo đó, \(a+b+c+3\ge9\) tức là \(a+b+c\ge6\)
\(\Rightarrow\) \(4\left(a+b+c\right)\ge24\) \(\left(\alpha\right)\)
Bên cạnh đó, ta cũng sẽ chứng minh \(abc\ge8\) \(\left(\beta\right)\)
Thật vậy, ta đưa vế trái bđt cần chứng minh thành một biểu thức mới.
\(VT\left(\beta\right)=abc=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8=VP\left(\beta\right)\)
Vậy, bđt \(\left(\beta\right)\) được chứng minh.
Từ đó, ta có thể rút ra được một bđt mới.
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge3\sqrt[3]{8^2}=12\) (theo cách dẫn trên)
\(\Rightarrow\) \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge24\) \(\left(\gamma\right)\)
Cộng từng vế 3 bđt \(\left(\alpha\right);\) \(\left(\beta\right)\) và \(\left(\gamma\right)\), ta được:
\(Q-8\ge24+8+24=56\)
Do đó, \(Q\ge64\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=2\)
Vậy, \(Q_{min}=64\) khi \(\alpha=6\)
Tìm các cặp số nguyên x,y biết
a,\(2x^2+y^2+6=4\left(x-y\right)\)
b,\(x^2\left(y+2\right)+1=y^2\)
a) \(2x^2+y^2+6=4\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^2+y^2+6-4x+4y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-4x+2\right)+\left(y^2+4y+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}}\)
b/ x2(y + 2) + 1 = y2
<=> x2(y + 2) + 1 = (y + 2)(y - 2) + 4
<=> (y + 2)(x2 + 2 - y) = 3
Làm tiếp nhé
(x+1).(y+2)=7=1.7=7.1=-1.(-7)=-7.(-1)
Ta có các trường hợp:
+/\(\hept{\begin{cases}x+1=1\\y+2=7\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=5\end{cases}}\)
+/ \(\hept{\begin{cases}x+1=7\\y+2=1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=6\\y=-1\end{cases}}\)
+/ \(\hept{\begin{cases}x+1=-1\\y+2=-7\end{cases}}\) => \(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-9\end{cases}}\)
+/ \(\hept{\begin{cases}x+1=-7\\y+2=-1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=-8\\y=-3\end{cases}}\)