Chứng minh rằng hàm số \(y=\dfrac{x^2}{x^2+1}\) đồng biến trên khoảng (-1 ; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1) và (1 ; +∞).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 11 2023
1: TXĐ: D=R\{-4}
\(y=\dfrac{x+m^2}{x+4}\)
=>\(y'=\dfrac{\left(x+m^2\right)'\left(x+4\right)-\left(x+m^2\right)\left(x+4\right)'}{\left(x+4\right)^2}\)
\(=\dfrac{x+4-x-m^2}{\left(x+4\right)^2}=\dfrac{4-m^2}{\left(x+4\right)^2}\)
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì
\(\dfrac{4-m^2}{\left(x+4\right)^2}>0\forall x\in TXĐ\)
=>\(4-m^2>0\)
=>\(m^2< 4\)
=>-2<m<2
PT
1
CM
17 tháng 6 2019
TXĐ: D = [0; 2]
+ Hàm số đồng biến
⇔ y’ > 0
⇔ 0 < x < 1.
+ Hàm số nghịch biến
⇔ y’ < 0
⇔ 1 < x < 2.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).
12 tháng 11 2023
1: TXĐ: D=R\{3}
\(y=\dfrac{x^2-6x+10}{x-3}\)
=>\(y'=\dfrac{\left(x^2-6x+10\right)'\left(x-3\right)-\left(x^2-6x+10\right)\left(x-3\right)'}{\left(x-3\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{\left(2x-6\right)\left(x-3\right)-\left(x^2-6x+10\right)}{\left(x-3\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{2x^2-12x+18-x^2+6x-10}{\left(x-3\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{x^2-6x+8}{\left(x-3\right)^2}\)
Đặt y'<=0
=>\(\dfrac{x^2-6x+8}{\left(x-3\right)^2}< =0\)
=>\(x^2-6x+8< =0\)
=>(x-2)(x-4)<=0
=>2<=x<=4
Vậy: Khoảng đồng biến là [2;3) và (3;4]
8 tháng 9 2021
Trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2}+k.2\pi;\dfrac{\pi}{2}+k.2\pi\right)\) chọn 2 giá trị của x (x1 và x2) sao cho x1 > x2
Xét f(x1) - f(x2) = sinx1 - sinx2
= 2cos\(\dfrac{x_1+x_2}{2}\) . sin \(\dfrac{x_1-x_2}{2}\)
Do \(\dfrac{x_1+x_2}{2}\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)
⇒ cos\(\dfrac{x_1+x_2}{2}\) > 0
Mà \(sin\dfrac{x_1-x_2}{2}\) > 0
nên f(x1) - f(x2) > 0
Vậy đồng biến
Nghịch biến tương tự
8 tháng 9 2021
tại sao \(\dfrac{x_1+x_2}{2}\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)ạ ?
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 9 2023
Lời giải:
a.
$y'=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}>0, \forall x\in (0; 1)$
$\Rightarrow y$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$
b.
Với mọi $x>1$ thì $y'=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}< 0$
$\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty)$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 6 2021
1.
\(f'\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)\) có các nghiệm bội lẻ \(x=\left\{-1;1;3\right\}\)
Sử dụng đan dấu ta được hàm đồng biến trên các khoảng: \(\left(-1;1\right);\left(3;+\infty\right)\)
Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right);\left(1;3\right)\)
2.
\(y'=4x^3-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
Lập bảng xét dấu y' ta được hàm đồng biến trên \(\left(-1;0\right);\left(1;+\infty\right)\)
Hàm nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right);\left(0;1\right)\)
CM
22 tháng 7 2017
TXĐ: D = R
+ Hàm số nghịch biến
⇔ y’ < 0
⇔ 1 – x2 < 0
⇔ x2 > 1
⇔ x ∈ (-∞ ; -1) ∪ (1; +∞).
+ Hàm số đồng biến
⇔ y’ > 0
⇔ 1 – x2 > 0
⇔ x2 < 1
⇔ x ∈ (-1; 1).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
Tập xác định : D = R. y' =
=> y' = 0 ⇔ x=-1 hoặc x=1.
Bảng biến thiên :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1 ; 1); nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1), (1 ; +∞).