Cho f(x) = x2 + nx + b thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}\left|f\left(x\right)\right|\le\dfrac{1}{2}\\\left|x\right|\le1\end{matrix}\right.\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{x-1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\dfrac{1}{4}\)
\(f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(mx\right)=m\)
Hàm liên tục tại x=1 khi: \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=f\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{4}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{x-1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\dfrac{1}{4}\)
\(f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(ax+2\right)=a+2\)
Hàm liên tục tại x=1 khi:
\(a+2=\dfrac{1}{4}\Rightarrow a=-\dfrac{7}{4}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đầu tiên ta để ý rằng hàm trên và hàm dưới đều có dạng rất giống nhau, biểu thức x trong ngoặc đầu tiên cộng 2 lần biểu thức x trong ngoặc thứ 2 đều bằng 1, do đó ta tìm cách đưa hàm pt 2 về dạng của hàm pt 1:
Đặt \(\dfrac{x}{x+1}=2t-1\Rightarrow x=2tx-x+2t-1\Rightarrow x\left(2-2t\right)=2t-1\Rightarrow x=\dfrac{2t-1}{2-2t}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2x+2}=\dfrac{1}{\dfrac{2t-1}{1-t}+2}=1-t\) \(\left(t\ne1\right)\)
\(\Rightarrow\) pt dưới trở thành \(f\left(2t-1\right)+2g\left(1-t\right)=3\) hay \(f\left(2x-1\right)+2g\left(1-x\right)=3\)
Ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(2x-1\right)+g\left(1-x\right)=x+1\\f\left(2x-1\right)+2g\left(1-x\right)=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}g\left(1-x\right)=2-x=1+1-x\\f\left(2x-1\right)=2x-1\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của hệ pt là \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=x\\g\left(x\right)=x+1\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Cái này chỉ tính được giới hạn 1 bên thôi
\(\lim\limits_{x\to 1-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1-}\frac{x^2+1}{1-x}=+\infty \) do $\lim\limits_{x\to 1-}(x^2+1)=2>0$ và $1-x>0$ với $x<1$
\(\lim\limits_{x\to 1+}\sqrt{2x-2}=\sqrt{2.1-2}=0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hàm liên tục với mọi \(x\ne1\)
Xét tại \(x=1\) ta có:
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(2x^2+3x\right)=2.1^2+3.1=5\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(ax+2\right)=a+2\)
\(f\left(1\right)=a+2\)
Hàm liên tục trên toàn R khi hàm liên tục tại \(x=1\)
\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=f\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow a+2=5\Rightarrow a=3\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+5< 0\\x^2-6x+1>0\end{matrix}\right.\)
\(\)Ta có
\(x^2+x+5=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{19}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}\ge\dfrac{19}{4}>0\)
=> Bất phương trình đàu tiên sai, hệ bất phương trình sai
b)
\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x-6>0\\3x^2-10x+3\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-3\right)\left(x+2\right)>0\\\left(x-3\right)\left(3x-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< -3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{1}{3}\\x\ge3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)