Question

[Nguyễn Ngọc Hương]

cho hình thoi ABCD có góc A = 60⁰, P là điểm thuộc cạnh AB, N là giao điểm của hai đường thẳng AD và CP

a) cm: tam giác PBC đồng dạng tam giác CDN rồi suy ra DB²=BP.DN

b) cm: tam giác DBN đồng dạng tam giác BPD

c) gọi M là giao điểm BN và DP. Tính góc BMD

d) cm: PA.PB=PD.PM

Answer 1

[F.C]

a/

•Xét ∆ANP và ∆BCP có:

góc APN = góc BPC (đối đỉnh)

góc NAP = CBP (so le trong AD//BC)

Nên ∆ANP đồng dạng với ∆BCP (g.g) (1)

•Xét ∆ANP và ∆DNC có:

góc N: góc chung

góc NAP = góc NDC (đồng vị do AB//CD hay AP//CD)

Nên ∆ANP đồng dạng với ∆DNC (g.g) (2)

*Từ (1) và (2) suy ra ∆PBC đồng dạng với ∆CDN (cùng đồng dạng với ∆PAN)

Do vậy \(\dfrac{BC}{BP}=\dfrac{DN}{DC}\) (3)

Mà ABCD là hình thoi nên BC = CD → ∆BCD cân tại C

Mặt khác góc A = góc C (2 góc đối nhau trong hình thoi)

Thế nên ∆BCD là tam giác đều nên BC = CD = BD (4)

*Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{BC}{BP}=\dfrac{DN}{DC}\Leftrightarrow\dfrac{BD}{BP}=\dfrac{DN}{BD}\) (5)

\(\Leftrightarrow BD.BD=BP.DN\)

\(\) \(\) \(\Leftrightarrow BD^2=BP.DN\)

b/

Xét ∆DBN và ∆BPD có: \(\dfrac{BD}{BP}=\dfrac{DN}{BD}\) (từ 5)

góc PBD = góc NDB (=60o)

Nên ∆DBN đồng dạng với ∆BPD (c.g.c)

c/

Vì ∆DBN đồng dạng với ∆BPD nên góc DBN = góc BPD

Xét ∆BMD và ∆PBD có:

góc BMD = góc BPD (cmt)

góc MDB: góc chung

Nên ∆BMD đồng dạng với ∆PBD (g.g)

Do vậy góc BMD = góc PBD = 60o

d/

Xét ∆PAD và ∆PMD có: góc APD = góc MPB (đối đỉnh)

góc PAN = PMB (=60o)

Nên ∆PAD đồng dạng với ∆PMD (g.g)

Do vậy \(\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{PM}{PB}\Leftrightarrow PA.PB=PD.PM\)

Answer 2

[Hạnhh Đặng GD Rosé]

ở câu c xét tam giác BMD vs tam giác BPD

góc BMD = góc BDD (cmt) ????????