Cho x,y,z>0 và x+y+z=1
Tìm Min P=\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
4 tháng 10 2017
Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có
\(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+3z+z+3x+x+3y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+x}{4}=\frac{3}{4}\)
M
4 tháng 10 2017
Đặt \(P=\frac{x^2}{y+3z}+\frac{y^2}{z+3x}+\frac{z^2}{x+3y}\)
Áp dụng bất đẳng thức Canchy Schwarz dạng Engel :
\(P=\frac{x^2}{y+3z}+\frac{y^2}{z+3x}+\frac{z^2}{x+3y}>\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+3y+z+3z+x+3x}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4x+4y+4z}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4.\left(x+y+z\right)}=\frac{3^2}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi x=y=z=1.
AV
0
21 tháng 2 2017
Dễ dàng CM được BĐT sau: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)(BĐT Nestbit)
Vậy: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\ge3\)
\(\Leftrightarrow P+a+b+c\ge3\Leftrightarrow P\ge3-2=1\)
Vậy Min P=1 <=> x=y=z=\(\frac{2}{3}\)
BC
1
10 tháng 11 2019
\(\frac{x}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{1}{2}xy\)
Tương tự và cộng lại:
\(A\ge x+y+z-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\ge x+y+z-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
NA
0
HN
5 tháng 7 2018
2.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - schwarz ( hay còn gọi là bất đẳng thức Cosi ):
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{9}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
1:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si:
\(x\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+y\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+z\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+z}+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\left(\frac{x+y+z}{1+y+1+z+1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\left(\frac{1}{3+\left(x+y+z\right)}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\frac{1}{4}\right]\)
\(=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
ta có: \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)(dấu = xảy ra khi \(\left(y+z\right)^2=4x^2\)↔y+z=2x)
tương tự ta có:\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)(dấu = cũng xảy ra khi x+z=2y;x+y=2z)
cộng từng vế ta có:P+\(\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
→P\(\ge\frac{x+y+z}{2}\)mà x+y+x=1
\(P\ge\frac{1}{2}\)↔\(\begin{cases}y+z=2x\\x+z=2y\\x+y=2z\end{cases}\)→x=y=z=1/3