Bài 1 : a. giả sử a,b là 2 số dương khác nhau thỏa mãn : \(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\)
CMR : \(a^2+b^2=1\)
b. CM số :\(\sqrt{2009^2+2009^2.2010^2+2010^2}\) là số nguyên dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CD
0
SM
1
30 tháng 10 2020
Ta thấy nếu \(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}=0\Rightarrow a^2=b^2=1\)
\(\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\) (vô lí).
Do đó ta có:
\(GT\Leftrightarrow a-b=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}}\)
\(\Leftrightarrow a+b=\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\)
Mà \(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\)
Nên \(2a=a+b+a-b=2\sqrt{1-b^2}\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{1-b^2}\Rightarrow a^2+b^2=1\).
NN
1
30 tháng 8 2015
Từ giả thiết ta suy ra \(a+\sqrt{1-a^2}=b+\sqrt{1-b^2}\to\left(a+\sqrt{1-a^2}\right)^2=\left(b+\sqrt{1-b^2}\right)^2\)
\(\to a^2+2a\sqrt{1-a^2}+\left(1-a^2\right)=b^2+2b\sqrt{1-b^2}+\left(1-b^2\right)\)
\(\to a\sqrt{1-a^2}=b\sqrt{1-b^2}\to a^2\left(1-a^2\right)=b^2\left(1-b^2\right)\to a^2-a^4=b^2-b^4\)
\(\to\left(a^4-b^4\right)=a^2-b^2\to\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-1\right)=0.\)
Vì a,b dương khác nhau nên \(a^2-b^2\ne0\to a^2+b^2=1.\) (ĐPCM)
21 tháng 3 2019
\(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(=\left(a^2\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)+\left(b^2\sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)
\(\ge2a+2b+2c\ge6\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=6\)
TN
10 tháng 9 2017
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
I
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 7 2020
Lời giải:
Đặt $a=2009$
\(\sqrt{2009^2+2009^2.2010^2+2010^2}=\sqrt{a^2+a^2(a+1)^2+(a+1)^2}\)
\(=\sqrt{a^2+a^2(a^2+2a+1)+(a+1)^2}\)
\(=\sqrt{a^2+a^4+2a^3+a^2+(a+1)^2}=\sqrt{a^4+2a^2(a+1)+(a+1)^2}\)
\(=\sqrt{(a^2+a+1)^2}=a^2+a+1=2009^2+2009+1\) là 1 số nguyên dương
Ta có đpcm.
b) Đặt x = 2009 . Ta cần chứng minh \(\sqrt{x^2+x^2\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)^2}\) là số nguyên dương.
Ta xét : \(x^2+x^2\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)^2=x^2\left(x+1\right)^2+x^2+x^2+2x+1=x^2\left(x+1\right)^2+2x\left(x+1\right)+1=\left[x\left(x+1\right)+1\right]^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+x^2\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)^2}=\left|x\left(x+1\right)+1\right|=x^2+x+1=2009^2+2009+1\) là một số nguyên dương.