1. so sánh \(\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (a<0, b<0)
2. so sánh 4 và\(2\sqrt{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
H
6 tháng 7 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có:
\(\sqrt{1.2014} \leq \frac{1+2014}{2}=\frac{2015}{2} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1.2014}} \geq \frac{2}{2015}\)
Trong tổng A có 2014 phân thức, mỗi phân thức theo chứng minh tương tự, ta đều chỉ được nó lớn hơn hoặc bằng \( \frac{2}{2015}\)
Suy ra \(A\geq \frac{2.2014}{2015} = B\)
Dấu = xảy ra khi \(\Leftrightarrow\) \(1=2014\\ 2=2013\\ ...\\ 2014=1\) (vô lý)
Vậy A>B
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 7 2021
Sử dụng BĐT: \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}>\dfrac{2}{a+b}\) (với \(a\ne b\)) ta được:
\(A>\dfrac{2}{1+2014}+\dfrac{2}{2+2013}+...+\dfrac{2}{2014+1}\) (2014 số hạng)
\(A>\dfrac{2}{2015}+\dfrac{2}{2015}+...+\dfrac{2}{2015}=\dfrac{2.2014}{2015}\)
\(A>\dfrac{4028}{2015}\)
Vậy \(A>B\)
AT
12 tháng 7 2021
a) Ta có: \(2=\sqrt{4}\)
Vì \(4>3\Rightarrow\sqrt{4}>\sqrt{3}\Rightarrow2>\sqrt{3}\Rightarrow1>\sqrt{3}-1\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{31}=\sqrt{4.31}=\sqrt{124}\\10=\sqrt{100}\end{matrix}\right.\)
Vì \(124>100\Rightarrow\sqrt{124}>\sqrt{100}\Rightarrow2\sqrt{31}>10\)
c) Vì \(15< 16\Rightarrow\sqrt{15}< \sqrt{16}\Rightarrow\sqrt{15}-1< \sqrt{16}-1\)
\(\Rightarrow\sqrt{15}-1< 4-1\Rightarrow\sqrt{15}-1< 3\)
Lại có: \(10>9\Rightarrow\sqrt{10}>\sqrt{9}\Rightarrow\sqrt{10}>3\)
\(\Rightarrow\sqrt{10}>\sqrt{15}-1\)
9 tháng 6 2023
a: 6>căn 5
=>6+2>2+căn 5
=>8>2+căn 5
b: căn 2>1
=>1+căn 2>2
13 tháng 8 2023
a: \(\sqrt{a^2}=\left|a\right|\)
\(\sqrt[3]{a^3}=a\)
b: \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\)
14 tháng 8 2021
Ta có: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}\)
\(=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-...-\sqrt{120}+11\)
=10
Ta có: \(B=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{35}}\)
\(=\dfrac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\dfrac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+...+\dfrac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{35}}\)
\(\Leftrightarrow B< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}\right)\)
\(\Leftrightarrow B< 2\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}-...-\dfrac{1}{\sqrt{35}}+\dfrac{1}{\sqrt{36}}\right)\)
\(\Leftrightarrow B< 2\cdot\left(-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{6}\right)\)
\(\Leftrightarrow B< -\dfrac{5}{3}< 10=A\)
10 tháng 6 2017
\(A=\sqrt{625}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}=25-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
\(B=\sqrt{576}-\dfrac{1}{\sqrt{6}}+1=24-\dfrac{1}{\sqrt{6}}+1=25-\dfrac{1}{\sqrt{6}}.\)
Vì \(\sqrt{5}< \sqrt{6}\) nên \(\dfrac{1}{\sqrt{5}}>\dfrac{1}{\sqrt{6}}.\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(A< B.\)
15 tháng 10 2021
a) ĐKXĐ: \(x>0,x\ne1\)
\(B=1:\dfrac{\left(x+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-1\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x\sqrt{x}-\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(x-1\right)}=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
b) \(B=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 só dương:
\(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}.1}{\sqrt{x}}}=2\)
\(\Rightarrow B=1+\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge1+2=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\)
17 tháng 8 2016
ĐKXĐ : \(a>0,a\ne1\)
a) \(\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\frac{\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)
b) \(B=1-\frac{1}{\sqrt{a}}< 1\)
1, \(VT=\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b\)
VP=\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)
(vì a,b<0 => ab>0 => \(\sqrt{ab}>0\)
=> \(\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\)