Question

[Vương Hoàng Minh]

Cho tập hợp các số nguyên A thỏa mãn đồng thời 2 tính chất sau:

1) Với mọi a,b \(\in\) A \(\Rightarrow\) 2a, a + b \(\in\) A

2) A chứa cả số dương lẫn số âm.

Chứng minh rằng: Nếu a,b thuộc A thì a - b cũng thuộc A.

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

Với mỗi \(a\in A\to2a\in A\to3a=2a+a\in A\to\cdots\to na\in A\) với mọi số nguyên dương \(n.\)

Ta kí hiệu \(c\) là số dương bé nhất thuộc A và \(d\) là số âm lớn nhất thuộc A (Hai số này tồn tại vì theo giả thiết A chứa cả số âm và số dương).  Nếu \(c+d>0\to c+d\) là số dương thuộc A và bé hơn \(c\), mâu thuẫn. Nếu \(c+dr\).   Nếu \(r>0\to r=x-cq=x+qd\in A\). (Vì \(x,qd\in A\) ).  Suy ra \(r\) là số dương bé hơn \(c\) và thuộc A, vô lí. Vậy \(r=0\to x\vdots c\). Tương tự, mỗi số âm \(x\in A\to x\vdots c\). Vậy mọi \(x\in A\to x\vdots c\).     (2)

Từ (1) và (2)  ta suy ra \(A\) là tập tất cả các số có dạng \(nc,nd\) với n là số nguyên không âm. Mà \(c+d=0\to A\) là tập các số có dạng \(cn\) với \(n\) là số nguyên bất kì. 

Xét hai số \(a,b\in A\) khi đó \(a=mc,b=nc\to a-b=\left(m-n\right)c\in A.\)   (ĐPCM)