Tìm những điểm trên đồ thị (C) của hàm số \(y=x+1+\frac{1}{x-1}\) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
20 tháng 7 2018
+ Gọi M ( x 0 ; 2 + 3 x 0 - 1 ) ∈ C , x 0 ≠ 1 .
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
∆ : y = - 3 x 0 - 1 2 ( x - x 0 ) + 2 + 3 x 0 - 1
+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là A ( 1 ; 2 + 6 x 0 - 1 )
+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B( 2x0-1; 2).
Ta có S ∆ I A B = 1 2 I A . I B = 1 2 . 6 x 0 - 1 . 2 . x 0 - 1 = 2 . 3 = 6
Tam giác IAB vuông tại I có diện tích không đổi nên chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi
IA=IB 
+Với x 0 = 1 + 3 thì phương trình tiếp tuyến là ∆ : y = - x + 3 + 2 3 . Suy ra
d O , ∆ = 3 + 2 3 2
+ Với x 0 = 1 - 3 thì phương trình tiếp tuyến là ∆ : y = - x + 3 - 2 3 . Suy ra
d O , ∆ = - 3 + 2 3 2
Vậy khoảng cách lớn nhất là 3 + 2 3 2 gần với giá trị 5 nhất trong các đáp án.
Chọn D.
CM
23 tháng 1 2017
Chọn đáp án B
Đạo hàm
Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại ∆ nên có hệ số góc là
Phương trình ∆
Đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng là ∆ 1 : x = - 1 và đường tiệm cận ngang là ∆ 2 : y = 1
Nửa chu vi tam giác IMN là
Dấu "=" xảy ra khi
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IMN là
CM
4 tháng 11 2019
Đáp án A
Vì I là tâm đối xứng của đồ thị C ⇒ I 2 ; 2
Gọi M x 0 ; 2 x 0 − 1 x 0 − 2 ∈ C ⇒ y ' x 0 = − 3 x 0 − 2 2 suy ra phương trình tiếp tuyến Δ là
y − y 0 = y ' x 0 x − x 0 ⇔ y − 2 x 0 − 1 x 0 − 2 = − 3 x 0 − 2 2 x − x 0 ⇔ y = − 3 x 0 − 2 2 + 2 x 0 2 − 2 x 0 + 2 x 0 − 2 2
Đường thẳng Δ cắt TCĐ tại A 2 ; y A → y A = 2 x 0 + 2 x 0 − 2 ⇒ A 2 ; 2 x 0 + 2 x 0 − 2
Đường thẳng Δ cắt TCN tại B x B ; 2 → x B = 2 x 0 − 2 ⇒ B 2 x 0 − 2 ; 2
Suy ra I A = 6 x 0 − 2 ; I B = 2 x 0 − 2 → I A . I B = 6 x 0 − 2 .2 x 0 − 2 = 12
Tam giác IAB vuông tại I ⇒ R Δ I A B = A B 2 = I A 2 + I B 2 2 ≥ 2 I A . I B 2 = 6
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi I A = I B ⇔ 3 = x 0 − 2 2 ⇔ x 0 = 2 + 3 x 0 = 2 − 3
Suy ra phương trình đường thẳng Δ và gọi M, N lần lượt là giao điểm của Δ với Ox, Oy
Khi đó M 2 x 0 2 − 2 x 0 + 2 3 ; 0 , N 0 ; 2 x 0 2 − 2 x 0 + 2 3 ⇒ S Δ O M N = 1 2 O M . O N
Vậy S m a x = 14 + 8 3 ≈ 27 , 85 ∈ 27 ; 28 k h i x 0 = 2 + 3
Xét : \(M\left(x_0;x_0+1+\frac{1}{x_0+1}\right)\)
Tiếp tuyến tại M có phương trình \(y=\left(1-m^2\right)x+m^2+2m+1\) (với \(m=\frac{1}{x_0-1}\))
tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại \(A\left(1;2m+2\right)\); cắt tiệm cận tại \(B\left(1+\frac{2}{m};2+\frac{2}{m}\right)\) và hai tiệm cận cắt nhau tại I(1;2)
Chu vi tam giác ABI : \(P=AB+BI+IA=\sqrt{4m^2+\frac{8}{m^2}+8}+\frac{2\sqrt{2}}{\left|m\right|}+2\left|m\right|\)
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi, ta có :
\(4m^2+\frac{8}{m^2}\ge8\sqrt{2};\frac{2\sqrt{2}}{\left|m\right|}+2\left|m\right|\ge4\sqrt[4]{2}\Rightarrow P\ge\sqrt{8\sqrt{2}+8}+4\sqrt[4]{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow m=\pm\sqrt[4]{2}\)
Vậy \(M\left(1\pm\frac{1}{\sqrt[4]{2}};2\pm\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\pm\sqrt[4]{2}\right)\)