Question

[Nguyễn Thành Trung]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm \(O\left(\frac{7}{3};\frac{3}{2}\right)\). Điểm \(M\left(6;6\right)\) thuộc cạnh AB và \(N\left(8;-2\right)\) thuộc cạnh BC. Tìm tọa độ  các đỉnh của hình vuông

Answer 1

[Đặng Minh Quân]

D G F C N E O M B H K J I A

Gọi G là điểm đối xứng của M qua O \(\Rightarrow G=\left(1;-3\right)\in CD\)

Gọi I là điểm đối xứng của M qua O \(\Rightarrow I=\left(-1;5\right)\in AD\)

Phương trình cạnh MO qua M có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{MO}\) là \(9x-5y-24=0\)

=> Phương trình cạnh NE qua N và vuông góc với MO là \(5x+9y-22=0\)

Gọi E là hình chiếu của N trên MG\(\Rightarrow E=NE\cap MG\Rightarrow E=\left(\frac{163}{53};\frac{39}{53}\right)\)

Lại có \(NE\perp MG\Rightarrow\begin{cases}NJ=MG\\\overrightarrow{NE}=k\overrightarrow{NJ}\end{cases}\) \(\left(k\ne0,k\in R\right)\) \(\Rightarrow J\left(-1;3\right)\) vì \(\overrightarrow{NE,}\overrightarrow{NJ}\) cùng chiều

Suy ra phương trình cạnh AD : \(x+1=0\Rightarrow OK=\frac{9}{2}\). Vì KA=KO=KD nên K, O, D thuộc đường tròn tâm K đường kính OK

Đường tròn tâm K bán kính OK có phương trình : 

\(\left(x+1\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{81}{4}\)

Vậy tọa độ điểm A và D là nghiệm của hệ \(\begin{cases}\left(x+1\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{81}{4}\\x+1=0\end{cases}\)

                                                           \(\Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=-1\\y=6\end{cases}\\\begin{cases}x=-1\\y=-3\end{cases}\end{cases}\)

Suy ra \(A\left(-1;6\right);D\left(-1;-3\right)\Rightarrow C\left(8;-3\right);B\left(8;6\right)\)

Trường hợp \(D\left(-1;6\right);A\left(-1;-3\right)\) loại do M thuộc CD