Tìm GTNN của P=\(\dfrac{x^4}{y^4}+\dfrac{y^4}{x^4}-\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\). Với x, y ≠ 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 8 2021
\(y=x+\dfrac{1}{x}-5\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}-5=-3\)
\(y_{min}=-3\) khi \(x=1\)
\(y=4x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}-4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^2}{2x.2x}}-4=-1\)
\(y_{min}=-1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)
\(y=x+\dfrac{4}{x}\Rightarrow y'=1-\dfrac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=-2\)
\(y\left(-2\right)=-4\Rightarrow\max\limits_{x>0}y=-4\) khi \(x=-2\)
VD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 3 2021
\(\dfrac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\dfrac{x\left(y+2\right)}{16}\ge\dfrac{x^2}{4}\) ; \(\dfrac{y^3}{4\left(x+2\right)}+\dfrac{y\left(x+2\right)}{16}\ge\dfrac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow Q+\dfrac{2xy+2x+2y}{16}\ge\dfrac{x^2+y^2}{4}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{8}\)
\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)}{8}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\left(x+y-4\right)^2+7\left(x+y\right)-16}{8}-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{7\left(x+y\right)-16}{8}-\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{14\sqrt{xy}-16}{8}-\dfrac{1}{2}=1\)
\(Q_{min}=1\) khi \(x=y=2\)
11 tháng 5 2023
Ta có \(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\). Áp dụng cho biểu thức A, suy ra \(A\ge\dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\right)^4}{8}\). Ta tìm GTNN của \(P=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\). Ta có
\(P=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+2\)
\(P\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\right)+2\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}.\left(\dfrac{4^2}{2}\right)+2\) \(=\dfrac{21}{2}\). Do đó \(P\ge\dfrac{21}{2}\) \(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\). Vậy GTNN của A là \(\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\), ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
11 tháng 5 2023
Gợi ý: \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^4\)
11 tháng 9 2023
a)\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2=\dfrac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\)\(\ge0\)
Vậy \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)
b) ta có: A=\(\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)-\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)=\(\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)-2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
A\(\ge\)\(\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)-2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2\)
=\(\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2\ge0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2021
\(A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}=\dfrac{x^2+y^2}{4xy}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}+\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{4xy}\)
\(A\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x^2+y^2\right)xy}{4xy\left(x^2+y^2\right)}}+\dfrac{3.2xy}{4xy}=\dfrac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
\(C=\dfrac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}-4\)
\(C=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{8xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{5\left(x+y\right)^2}{8xy}-4\)
\(C\ge2\sqrt{\dfrac{18xy\left(x+y\right)^2}{8xy\left(x+y\right)^2}}+\dfrac{5.4xy}{8xy}-4=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
19 tháng 11 2021
\(a,VT=\dfrac{x^2+2xy+4-3x^2-3xy}{\left(x+y\right)\left(x+2y\right)}=\dfrac{-2x^2-xy+4}{\left(x+y\right)\left(x-2y\right)}=VP\\ b,VP=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\dfrac{x+y}{x-y}=VT\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 4 2022
\(A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}=\dfrac{x^2+y^2}{2xy}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\)
\(A\ge\dfrac{2xy}{2xy}+2\sqrt{\left(\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\right)\left(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\right)}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
\(B=\dfrac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy}+\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}+\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)^2}-4\)
\(B=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4xy}+\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}-4\)
\(B\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)^2.4xy}{4xy.\left(x+y\right)^2}}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4xy}{xy}-4=1\)
\(B_{min}=1\) khi \(x=y\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}=t^2-2\)
\(\dfrac{x^4}{y^4}+\dfrac{y^4}{x^4}=\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)^2-2=\left(t^2-2\right)^2-2=t^4-4t^2+2\)
\(\Rightarrow P=f\left(t\right)=t^4-4t^2+2-\left(t^2-2\right)+t\)
\(f\left(t\right)=t^4-5t^2+t+4\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^4-5t^2+t+4\) trên \((-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\)
\(f'\left(t\right)=g\left(t\right)=4t^3-10t+1\)
\(g\left(t\right)\) bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm
\(g\left(-2\right)=-11\) ; \(g\left(0\right)=1\)
\(\Rightarrow g\left(-2\right).g\left(0\right)< 0\Rightarrow g\left(t\right)=0\) có nghiệm \(t_1\in\left(-2;0\right)\)
\(g\left(1\right)=-5< 0\Rightarrow g\left(0\right).g\left(1\right)< 0\Rightarrow g\left(t\right)\) có nghiệm \(t_2\in\left(0;1\right)\)
\(g\left(2\right)=13\Rightarrow g\left(1\right).g\left(2\right)< 0\Rightarrow g\left(t\right)\) có nghiệm \(t_3\in\left(1;2\right)\)
Dấu \(f'\left(t\right)\):
Từ đây ta thấy \(f\left(t\right)\) nghịch biến trên \((-\infty;-2]\) và đồng biến trên \([2;+\infty)\)
Hay GTNN của \(f\left(t\right)\) sẽ rơi vào \(t=-2\) hoặc \(t=2\)
\(f\left(-2\right)=-2\) ; \(f\left(2\right)=2\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=-2\) khi \(t=-2\) hay \(P_{min}=-2\) khi \(x=-y\)