cho 3 số a,b,c thuộc R* thỏa mãn: a+b+c=1 và 1/a+1/b+1/c=1. CMR có ít nhất 1 số bằng 1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VK
5
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài suy ra:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)})=0$
$\Leftrightarrow (a+b).\frac{ab+c(a+b+c)}{abc(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow (a+b).\frac{(c+a)(c+b)}{abc(a+b+c)}=0$
$\Rightarrow (a+b)(c+a)(c+b)=0$
$\Rightarrow (1-c)(1-b)(1-a)=0$
$\Rightarrow 1-c=0$ hoặc $1-b=0$ hoặc $1-a=0$
$\Leftrightarrow a=1$ hoặc $b=1$ hoặc $c=1$ (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021
Sửa lại đề: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}$.
--------------
Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} a+b+c=2021\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c(a+b+c)}=0\Leftrightarrow (a+b)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)})=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b).\frac{c(a+b+c)+ab}{abc(a+b+c)}=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b).\frac{(c+a)(c+b)}{abc(a+b+c)}=0\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0\)
$\Leftrightarrow (2021-c)(2021-a)(2021-b)=0$
Do đó ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ có 1 số có giá trị bằng $2021$
14 tháng 3 2017
ta có: \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\)(vì abc=1)
tự phân tích sẽ ra là \(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
suy ra một trong 3 số =1
H
2
S
27 tháng 7 2018
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2018}\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{2018}\Leftrightarrow2018\left(ab+bc+ca\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+ca\left(a+c\right)+abc-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(ab+b^2+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
=> a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0
Mà a + b + c = 2018
=> c = 2018 hoặc a = 2018 hoặc b = 2018 (đpcm)
D
30 tháng 8 2018
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2018}\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{2018}\Leftrightarrow2018\left(ab+bc+ca\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+ca\left(a+c\right)+abc-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(ab+b^2+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow a+b=0\)hoặc \(b+c=0\)hoặc \(c+a=0\)
Mà \(a+b+c=2018\)
\(\Rightarrow a=2018\)hoặc \(b=2018\)hoặc \(c=2018\)
O
13 tháng 4 2018
Ta có 1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac + ac)/abc = ab + bc + ca
=> a + b + c = ab + bc + ca
<=> a + b + c - ab - bc - ca = 0
<=> a + b + c - ab - bc - ac + abc - 1 = 0
<=> (a - ab) + (b - 1) + (c - bc) + (abc - ac) = 0
<=> -a(b - 1) + (b - 1) - c(b - 1) + ac(b - 1) = 0
<=> (b - 1)(-a + 1 -c + ac) = 0
<=> (b - 1)[ (-a + 1) + (ac - c) ] = 0
<=> (b - 1)[ -(a - 1) + c(a - 1) ] = 0
<=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
<=> a - 1 = 0 hoặc b - 1 = 0 hoặc c - 1 = 0
<=> a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1 <=> đ.p.c.m
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài ta có:
\(\frac{c-1}{c}=1-\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1-c}{ab}\) \(\Leftrightarrow (c-1)\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow (c-1)\left(\frac{1}{1-a-b}+\frac{1}{ab}\right)=\frac{(a-1)(b-1)(c-1)}{abc}=0\)
Do đó tồn tại ít nhất một trong các số đã cho có giá trị bằng $1$