a,b,c là 3 cạnh của tam giác
C/M: \(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\)≥a+b+c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 2 2019
hmm..
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+b-c;b+c-a;c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{cases}}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4x}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{4y}+\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4z}\ge x+y+z\)
Ta có:\(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4x}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{4y}+\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4z}\)
\(=\frac{x^2+xy+xz+yz}{4x}+\frac{xy+yz+y^2+zx}{4y}+\frac{zx+zy+z^2+xy}{4z}\)
\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\right)\)\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{y^2z^2}{xyz}+\frac{z^2x^2}{xyz}+\frac{x^2y^2}{xyz}\right)\)
\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left[\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3xyz}\right]\)\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left[\frac{3xyz\left(x+y+z\right)}{3xyz}\right]\)
\(=x+y+z\)
Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
NG
cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác
CMR:\(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\ge a+b+c\)
0
NT
10 tháng 3 2016
mối ràng buộc giữa a,b,c vì nếu a,b,c thuộc R và ko có mối liên hệ a,b,c thì ko có GTNN của nó
Đặt A=ab/(a+b) + bc/(b+c) + ac/(a+c)
Trước hết ta xét bất đẳng thức sau với x,y >0
(x+y)≥2√xy <=> (x+y)² ≥ 4xy <=> (x+y)≥(4xy)/(x+y)
ngịch đảo 2 vế ta có 1/(x+y) ≥ ¼(1/x+1/y)
Áp dụng cho bài toán ta có
ab/(a+b)≥¼ ab(1/a+1/b)=¼(a+b)
bc/(b+c) ≥¼(c+d)
ac/(a+c)≥¼(a+c)
Cộng 2 vế ta có A ≥¼(a+b+c+d+a+c)=½(a+b+c)
Nếu bạn cho a+b+c=m thì ta có mình A=m/2
KB
10 tháng 2 2019
Xin lỗi bạn , mik giải muộn 
Do a ; b ; c là 3 cạnh của tam giác \(\Rightarrow a+b-c>0;b+c-a>0;c+a-b>0\)
Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;a+c-b=z\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=a+b+c\\x+y=2b;y+z=2c;z+x=2a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=a+b+c\\b=\dfrac{x+y}{2};c=\dfrac{y+z}{2};a=\dfrac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)
Đặt PT đã cho là A . Ta có :
\(A=\dfrac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4x}+\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{4y}+\dfrac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{4z}\)
\(=\dfrac{x^2+xy+xz+yz}{4x}+\dfrac{xy+y^2+xz+yz}{4y}+\dfrac{xy+xz+yz+z^2}{4z}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{yz}{4x}+\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{xz}{4y}+\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{xy}{4z}\)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\dfrac{yz}{4x}+\dfrac{xz}{4y}+\dfrac{xy}{4z}\)
\(=3\left(x+y+z\right)+\dfrac{y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2}{4xyz}\)
Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\dfrac{x+y+z}{4}=x+y+z=a+b+c\)
\(\Rightarrowđpcm\)
