Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 8 2017
Bài 1 với bài 2 như nhau, đăng làm gì cho tốn công :))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ca}{b}}=2a\)
\(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{bc}{a}}=2c\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)(đpcm)
T
28 tháng 7 2019
Đề chơi căng nhỉ?
a) Dễ chứng minh VP =< 3
BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{1+a}-1\right)+\left(\frac{b+c}{1+b}-1\right)+\left(\frac{c+a}{1+c}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-1}{1+a}+\frac{c-1}{1+b}+\frac{a-1}{1+c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-1\right)^2}{\left(1+a\right)\left(b-1\right)}+\frac{\left(c-1\right)^2}{\left(1+b\right)\left(c-1\right)}+\frac{\left(a-1\right)^2}{\left(1+c\right)\left(a-1\right)}\) >=0
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel vào VT ta có đpcm.
P/s: Èo, sao đơn giản thế nhỉ? Em có làm sai chỗ nào chăng?
NT
3
19 tháng 3 2019
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ac\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
ML
7 tháng 8 2016
Sử dụng bđt Côsi:
\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)
Tương tự và suy ra:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Thu gọn lại, ta có đpcm.
BN
7 tháng 8 2016
a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2
=>2a^3/b +b^2>=3a^2
Cm tương tự :
2b^3/c +c^2 >=3.b^2
2c^3/a +a^2 >=3.c^2
Cộng vế ta đc :
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2
Mặt khác :
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
nên
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca Dấu
= xảy ra khi a=b=c
U
1
T
23 tháng 11 2019
a) Đơn giản, tự chứng minh
b) Cách 1: Áp dụng BĐT câu a: \(VT\ge\left(a^2+ab-b^2\right)+\left(b^2+bc-c^2\right)+\left(c^2+ca-a^2\right)=ab+bc+ca=VP\)(đpcm)
Cách 2:
Ta chứng minh BĐT chặt hơn: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\) (vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\))
Giả sử \(b=min\left\{a,b,c\right\}\).Bằng phương pháp B-W (Buffalo way) ta phân tích được:
\(VT-VP=\frac{\left(4a^2c+4abc-b^3+3b^2c-bc^2\right)\left(a-b\right)^2+b\left(b^2+bc+c^2\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4abc}\ge0\)
P/s: Cách 2 tuy dài nhưng rất hay vì đây là phân tích bằng tay (không cần dùng phần mềm)!
VH
2
17 tháng 9 2015
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 số ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2\sqrt{c^2}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}=2\sqrt{a^2}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2\sqrt{b^2}=2b\)
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được : \(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
=> đpcm
18 tháng 8 2019
a) Giả sử:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
=> đpcm
18 tháng 8 2019
b, Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương \(\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ca}{b};\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ab}{c};\frac{ca}{b}\)và \(\frac{ab}{c}\)
Ta lần lượt có : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c;\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b;\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}\)
Cộng từng vế ta đc bất đẳng thức cần chứng minh . Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c\)
c, Với các số dương \(3a\) và \(5b\), Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{3a+5b}{2}\ge\sqrt{3a.5b}\)
\(\Leftrightarrow\left(3a+5b\right)^2\ge4.15P\)( Vì \(P=a.b\))
\(\Leftrightarrow12^2\ge60P\)\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\Rightarrow maxP=\frac{12}{5}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(3a=5b=12:2\)
\(\Leftrightarrow a=2;b=\frac{6}{5}\)
Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số \(\frac{bc}{a};\frac{ca}{b}\) ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c\)
Tương tự, \(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}=2a\); \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: \(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
=> \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\). Dấu "=" xảy ra khi a = b = c