Question

[Tống Khánh Ly]

cho 0<x,y,z<=1 và x+y+z=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\)

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

Có thể giải bài toán bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz sau đây

Bổ đề. Với mọi số thực \(a,b,c\)  và các số dương \(x,y,z\)  ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\).

Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}.\)  Thực vậy bất đẳng thức tương đương với \(\left(ya^2+xb^2\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2\ge2abxy\)  (Đúng).

Áp dụng bất đẳng thức trên hai lần ta được

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}.\)

Quay trở lại bài toán, ta có

\(A=\frac{\left(1-x\right)^2}{z}+\frac{\left(1-y\right)^2}{x}+\frac{\left(1-z\right)^2}{y}\ge\frac{\left(1-x+1-y+1-z\right)^2}{z+x+y}=\frac{\left(3-x-y-z\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}.\)

Khi  \(x=y=z=\frac{2}{3}\)  thì \(A=\frac{1}{2}\). Vậy giá trị bé nhất của \(A\) là \(\frac{1}{2}\).