Cho tam giác ABC đường cao AH .Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB . Gọi Q là giao điểm của NP cắt AH .Chứng minh
a, MNQH là hình thang vuông
b, MNPH là hình thang cân
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 9 2020
a) gọi I là giao điểm của AH và PN
xét tam giác ABC có
AP=BF và AN=NC
Do đó PN là đường trung bình của tam giác ABC
==>PN//BC mà AH vuông góc BC ==>PN vuông góc AH (1)
ta có : PN//BC mà PI thuộc PN ==> PI//BC
Xét tam giác AHB có
PI//BC và AP=BP
==>AI=IH (2)
TỪ (1)(2) ==)PN là đg trung trực của AH
18 tháng 9 2016
bài này dễ lắm
câu a bạn tự làm nha vì nó quá dễ rồi
b) Mình xin đính chính lại là P là trung điểm của AB chứ không phải B, bạn viết lộn rùi
Gọi O là giao điểm của PN và AH
Ta có: P là trung điểm của AB (gt)
BO// BH ( t/c đướng trung bình, đã cm ở câu a)
=> O là trung điểm của AH => AO = OH
Xét tam giác APO và tam giác HPO có:
BO là cạnh chung
Góc POH = góc POA = 90 độ ( PN là đướng trung trực của AH )
AO = HO (cmt)
=> Tam giác APO = tam giác HPO ( c-g-c)
=> Góc OPH = góc OPA ( 2 góc tương ứng) (5)
Ta có: PN là đướng trung bình của tam giác ABC ( cm ở câu a)
=> PN = \(\frac{1}{2}\)BC (1) => PN // BC
Mà M là trung điểm của BC (gt) => BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC (2)
Từ (1) và (2) => PN = BM = MC hay PN = BM, PN = BM (3)
Ta lại có: PN//BC => PN//BM (4)
Từ (3) và ( 4) => PNMB là hình bình bình hành => NM //PB => NM//AP => góc OPA = góc MNP ( cặp góc slt) (6)
Mà PN//HM ( PN//BC, t/c đướng trung bình) => MNPH là hình thang (7)
Từ(5), (6) và (7) MNPH là hình thang cân
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 9 2021
Lời giải:
$M,N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$
$\Rightarrow MN\parallel BC$ hay $MN\parallel HP$
$\Rightarrow MNPH$ là hình thang $(*)$
Mặt khác:
Tam giác vuông $ABH$ có $HM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $HM=\frac{AB}{2}=MB$ (bổ đề quen thuộc)
$\Rightarrow $MHB$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{MBH}$
Mà $\widehat{MBH}=\widehat{NPC}$ (hai góc đồng vị với $NP\parallel AB$)
$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{NPC}$
$\Rightarrow 180^0-\widehat{MHB}=180^0-\widehat{NPC}$
Hay $\widehat{MHP}=\widehat{NPH}(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow $MNPH$ là hình thang cân (đpcm)
13 tháng 9 2023
- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MN//BC\) (tính chất đường trung bình).
\( \Rightarrow MN//HP\left( {H;P \in BC} \right)\)
Xét tứ giác \(MNPH\) có: \(MN//HP \Rightarrow \) tứ giác \(MNPH\) là hình thang.
- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;P\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MP = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình) (1).
- Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có:
\(N\)là trung điểm của \(AC\) nên \(HN = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(MP = HN\).
Xét hình thang \(MNPH\) có: \(MP = HN\) (chứng minh trên).
Do đó, hình thang \(MNPH\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).
a) Xét ΔABC có
P là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: PN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
Suy ra: PN//BC và \(PN=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
hay QN//HM; PN//HM
Xét tứ giác MNQH có QN//HM(cmt)
nên MNQH là hình thang có hai đáy là QN và HM(Định nghĩa hình thang)
Hình thang MNQH(QN//HM) có \(\widehat{QHM}=90^0\)(gt)
nên MNQH là hình thang vuông(Định nghĩa hình thang vuông)
b) Xét ΔABC có
P là trung điểm của AB(gt)
M là trung điểm của BC(gt)
Do đó: PM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
Suy ra: PM//AC và \(PM=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Ta có: ΔAHC vuông tại H(Gt)
mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(N là trung điểm của AC)
nên \(HN=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)
Từ (1) và (2) suy ra MP=HN
Xét tứ giác MNPH có PN//HM(cmt)
nên MNPH là hình thang có hai đáy là PN và HM(Định nghĩa hình thang)
Hình thang MNPH có MP=HN(cmt)
nên MHPH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)