Cho x+y=10 TÍnh gtln của p=xy
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PH
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 8 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$y\sqrt{x-1}=\sqrt{y^2(x-1)}=\sqrt{y(xy-y)}\leq \frac{y+xy-y}{2}=\frac{xy}{2}$
$x\sqrt{y-2}=\sqrt{x^2(y-2)}=\sqrt{x(xy-2x)}\leq \frac{2x+(xy-2x)}{2\sqrt{2}}=\frac{xy}{2\sqrt{2}}$
$\Rightarrow y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-2}\leq \frac{xy}{2}+\frac{xy}{2\sqrt{2}}=xy.\frac{2+\sqrt{2}}{4}$
$\Rightarrow P\leq \frac{2+\sqrt{2}}{4}$
Vậy $P_{\max}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$
29 tháng 10 2017
Đề bài: Biết x + y = 10. Tìm GTLN của H=xy
Giai:
=> GTLN của x và y là: 5 để H=xy
P/s: Tham khảo nha!!
BN
1
1 tháng 1 2020
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(x^4+y^2\ge2x^2y\)
\(x^2+y^4\ge2xy^2\)
\(\Rightarrow M\le\frac{x}{2x^2y}+\frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{xy}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy..........
MY
0
PT
1
HP
3 tháng 10 2016
x+y=3=>x=3-y
M=x+xy+y=x+y+xy=3-y+y+(3-y).y
=3+3y-y2=-y2+3y+3=-(y2-3y-3)=\(-\left(y^2-2.y.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-3\right)=-\left[\left(y-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{21}{4}\right]=\frac{21}{4}-\left(y-\frac{3}{2}\right)^2\le\frac{21}{4}\) (với mọi y)
Dấu "=" xảy ra <=> y=3/2 <=> x=3/2
Vậy M đạt GTLN là 21/4 khi x=y=3/2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
Đầu tiên, có vẻ bạn chép nhầm đề, chắc chắn P không có giá trị lớn nhất (bạn chỉ cần cho 1 số giá trị cực nhỏ, 2 số kia lớn hơn 1 thì P sẽ vô cùng lớn, ví dụ, với \(z=0.00000001\) và \(x=y=\frac{10-z}{2}\) bấm máy tính thử sẽ thấy).
Cho nên, mình nghĩ đề đúng là tìm GTNN,:
Do lớp 8 có vẻ chưa học Cauchy nên ta chứng minh 1 BĐT phụ trước:
Với các số thực dương \(a;b\) ta luôn có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Thật vậy, biến đổi tương đương BĐT trên:
\(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}=y\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge2y\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}=x\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\ge2x\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}=z\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\ge2z\)
Cộng vế với vế:
\(2P\ge2\left(x+y+z\right)=20\Rightarrow P\ge10\)
Vậy \(P_{min}=10\) khi \(x=y=z=\frac{10}{3}\)