CMR:Nếu x+y+z\(\ge\)0 thì x^3+y^3+z^3\(\ge\)3xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ML
1
5 tháng 11 2017
Ví dụ : Tìm tập hợp các ước của 24
Ư(24) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 }
Ta có thể tìm các ước của a bằng cách lần lượt chia a cho
các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho những
số nào ,khi đó các số ấy là ước của a
GH
0
HK
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta có: \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Mà theo BĐT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\)
Do đó: \(3\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3\)
-------
Ta có: \(\text{VT}=x-\frac{xz}{x^2+z}+y-\frac{xy}{y^2+x}+z-\frac{yz}{z^2+y}\)
\(=(x+y+z)-\left(\frac{xy}{y^2+x}+\frac{yz}{z^2+y}+\frac{xz}{x^2+z}\right)\)
\(\geq x+y+z-\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{\sqrt{xy^2}}+\frac{yz}{\sqrt{z^2y}}+\frac{xz}{\sqrt{x^2z}}\right)\) (AM-GM)
\(=x+y+z-\frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\)
Tiếp tục AM-GM: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{z+1}{2}=\frac{x+y+z+3}{2}\)
Suy ra:
\(\text{VT}\geq x+y+z-\frac{1}{2}.\frac{x+y+z+3}{2}=\frac{3}{4}(x+y+z)-\frac{3}{4}\)
\(\geq \frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
T
17 tháng 1 2019
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)
Theo giả thiết,ta có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}=\frac{3}{abc}\)
Nhân hai vế với abc: \(a+b+c=3\) tức là \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Lại có:\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{xyz}\)
Ta cần c/m: \(A\ge\frac{3}{2}\)
Do x,y,z > 0 áp dụng BĐT Cô si: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=xy+yz+zx\)
Áp dụng BĐT Cô si: \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)
\(=3xyz.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)\(\ge3xyz.\frac{xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{3\left(x^2y^2z+xy^2z^2+x^2yz^2\right)}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\ge\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+1\right)-6xyz}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left[xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1\right]-6xyz}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz\left[3xyz+1\right]-6xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{9x^2y^2z^2-3xyz}\)
Đặt \(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}\)
Ta sẽ c/m: \(B\ge\frac{2}{3}\).Thật vậy,ta có:
\(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}=3-\frac{3}{3xyz}\)\(=3-\frac{1}{xyz}\ge0\)
Suy ra \(A\ge0?!?\) có gì đó sai sai.Ai biết chỉ giùm
18 tháng 1 2019
Nghĩ mãi mới ra -.- Để ý cái số mũ 3 trên tử khó mà dùng trực tiếp Cô-si hoặc Bunhia nên phải tách nó ra
Ta có: \(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x^3+xz}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\)
\(\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}\)(Cô-si)
\(=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)
\(\ge x-\frac{z+1}{4}\)(Dùng bđt \(\sqrt{z}\le\frac{z+1}{2}\))
Tương tự \(\frac{y^3}{y^2+z}\ge y-\frac{x+1}{4}\)
\(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{y+1}{4}\)
Cộng từng vế của các bđt trên lại được
\(A\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{4}\)
\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\)
Từ điều kiện \(xy+yz+zx=3xyz\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)được
\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)
Quay trở lại với A
\(A\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\ge\frac{3.3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)(Do \(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\xy+yz+zx=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy .............
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 5 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\text{VT}=x-\frac{x}{x^2+z}+y-\frac{y}{y^2+x}+z-\frac{z}{z^2+y}=(x+y+z)-\left(\frac{x}{x^2+z}+\frac{y}{y^2+x}+\frac{z}{z^2+y}\right)\)
\(\geq (x+y+z)-\left(\frac{x}{2\sqrt{x^2z}}+\frac{y}{2\sqrt{y^2x}}+\frac{z}{2\sqrt{z^2y}}\right)=(x+y+z)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)(1)\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Cauchy-Schwarz:
\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3(2)\)
\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(1+1+1)=9\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\leq 3(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Mặt khác: \(\text{VP}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{3}{2}\)
Do đó \(\text{VT}\geq \text{VP}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
KB
27 tháng 4 2019
Theo GT : \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=3\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
\(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x\left(x^2+z\right)}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)
Tương tự , ta có : \(\frac{y^3}{y^2+x}\ge y-\frac{\sqrt{x}}{2}\) ; \(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{\sqrt{y}}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+z}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge x+y+z-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}\)
Vì x ; y ; z dương , áp dụng BĐT Cô - si , ta có :
\(x+1\ge2\sqrt{x};y+1\ge2\sqrt{y};z+1\ge2\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow x+y+z+3\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
=> \(\frac{x+y+z+3}{2}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\) => BĐT được c/m
Tiếp tục AD BĐT Cô - si , ta có :
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{9}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\frac{9}{3}=3\) => BĐT được c/m
Có : \(\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+x}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge x+y+z-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{2}\ge\frac{3.3-3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy ...
5 tháng 2 2022
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)
\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)
DF
1
30 tháng 6 2020
\(x^3+y^3-z^3\ge3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\)
Luôn đúng
Xét \(A=x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)^3\left(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz-3xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)\)
\(\Rightarrow2A=2\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]\)
Vì \(x+y+z\ge0\) ; \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\) với mọi \(x,y,z\)
\(\Rightarrow2A\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
Vậy nếu \(x+y+z\ge0\) thì \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)