Cho \(Δ\)ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE. vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. chứng minh:a) HB=CKb) góc AHB= góc AKCc) HK song song với DE d) \(Δ\)AHE= \(Δ\)AKDe) gọi I là giao điểm của DK và EH. chứng minh AI vuông góc với...
Đọc tiếp
Cho \(Δ\)ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE. vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. chứng minh:
a) HB=CK
b) góc AHB= góc AKC
c) HK song song với DE
d) \(Δ\)AHE= \(Δ\)AKD
e) gọi I là giao điểm của DK và EH. chứng minh AI vuông góc với DE
a) Tao có :) \(\Delta ABC\)cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
T lại có :) \(\widehat{ABC}=\widehat{HBD}\left(đđ\right)\)
\(\widehat{ACB}=\widehat{KCE}\left(đđ\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\)
Xét \(\Delta HBD\)và \(\Delta KCE\)t có :)
\(\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\)
\(BD=CE\)
\(\widehat{DHB}=\widehat{EKC}\left(=90^o\right)\)
\(\Rightarrow\Delta HBD=\Delta KCE\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow HB=KC\left(đpcm\right)\)
b) T có :) \(\widehat{ABH}+\widehat{ABC}=180^o\)( kề bù )
\(\widehat{ACK}+\widehat{ACB}=180^o\)( kề bù )
Mà :) \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)
Xét \(\Delta AHB\)và \(\Delta AKC\)có :)
\(HB=CK\)
\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)
\(AB=AC\)
\(\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AKC\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AKC}\left(đpcm\right)\)
c) Do \(\Delta ABC\)cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(1\right)\)
Mà :) \(AB=AC\)
\(BD=CE\)
\(\Rightarrow AB+BD=AC+CE\)
\(\Rightarrow AD=AE\)
\(\Rightarrow\Delta ADE\)cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ADE}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\)
Mà hai góc trên đồng vị :)
\(\Rightarrow HK//DE\left(đpcm\right)\)
d) Theo câu b t có \(\Delta AHB=\Delta AKC\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AH=AK\\\widehat{HAB}=\widehat{KAC}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\widehat{HAB}+\widehat{BAC}=\widehat{KAC}+\widehat{BAC}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{HAC}=\widehat{KAB}\)
Xét \(\Delta AHE\)và \(\Delta AKD\)có :)
\(\widehat{HAC}=\widehat{KAB}\)
\(AH=AK\)
\(AE=AD\)
\(\Rightarrow\Delta AHE=\Delta AKD\left(c-g-c\right)\left(đpcm\right)\)
e) \(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{AKD}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{AHK}+\widehat{KHE}=\widehat{AKH}+\widehat{HKD}\)
Mà :) \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\)( câu b )
\(\Rightarrow\widehat{KHE}=\widehat{HKD}\Rightarrow\Delta HIK\)cân tại I
\(\Rightarrow HI=IK\)
Xét \(\Delta AHI\)và \(\Delta AKI\)có :)
\(HI=IK\)
\(AH=AK\)
Chung AI
\(\Rightarrow\Delta AHI=\Delta AKI\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{HAB}+\widehat{BAI}=\widehat{CAI}+\widehat{KAC}\)
Lại có :) \(\widehat{HAB}=\widehat{KAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)
\(\Rightarrow\)AI là tia phân giác \(\widehat{BAC}\)hay \(\widehat{DAE}\)
Mà \(\Delta DAE\)cân tại A
\(\Rightarrow AI\perp DE\)( do đường phân giác của đỉnh tam giác cân cũng chính là đường cao của tam giác cân đó )
Vậy .... :)
Hình vẽ :
a) Dễ nhận thấy DE = KH = 1/2 BC
Do đó KH = 1/2BC suy ra KB + CH = 1/2BC=KH
Vậy KB + CH = KH
Do vậy 2KB + CH = KH + KB (1)
KB + 2CH = KH + KB (2)
Từ đó suy ra CH = KB
Mà HB = KH + KB (3)
CK = KH + HC (4)
Mà KB = HC nên KH + KB = KH + HC hay HB = CK
b) Chứng minh \(\Delta AHB=\Delta AKC\)
Ta có: \(\Delta AHB=\Delta AKC\left(c.g.c\right)\)
Suy ra \(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}\)
c) Theo hình vẽ ta có BD = CE và BD là tia đối của BA, nên BD thẳng hàng với BA
CE là tia đối của CA nên CE thẳng hàng với CA
Do đó CE = BD . DO đó EK = DH.
Theo đề bài DH và EK cùng vuông góc BC (5) mà DH = EK do đó \(\widehat{D}=90^o;\widehat{E}=90^o\)(6)
Từ (5) và (6) suy ra HK song song DE
Sau đó tự làm tiếp