Question

[Trung Nguyễn Đình Trung]

Cho \(P=\frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}}{\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}}\)

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P có giá trị nguyên

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

\(P=\frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}}\left(x>4\right)\)( mình có sửa lại đề 1 chút)

\(\Leftrightarrow P=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{x-4}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2}}{\sqrt{\left(1-\frac{4}{x}\right)^2}}=\frac{\left|\sqrt{x-4}+2\right|+\left|\sqrt{x-4}-2\right|}{\left|1-\frac{4}{x}\right|}\)

\(=\frac{\sqrt{x-4}+2+\left|\sqrt{x-4}-2\right|}{\left|\frac{x-4}{x}\right|}\)

nếu 4<x=<8 thì P=\(\frac{4x}{x-4}\)

nếu x>8 thì P=\(\frac{2x}{\sqrt{x-4}}\)

xét P=\(\frac{4x}{x-4}=4+\frac{16}{x-4}\left(x\inℤ\right)\)

P\(\inℤ\)<=> x-4 là ước của 16 và 4<x=<8 \(\Leftrightarrow x=5;6;8\)

xét P=\(\frac{2x}{\sqrt{x-4}}\left(x\inℤ;x>8\right)\left(1\right)\)

với x \(\inℤ\Rightarrow\sqrt{x-4}\)là số vô tỷ hoặc \(\sqrt{x-4}\inℤ\)

do đó từ (1) => \(P\inℤ\Rightarrow\sqrt{x-4}\inℤ\Leftrightarrow\sqrt{x-4}=a\left(a\inℤ;a>2\right)\)

\(\Rightarrow a^2=\frac{2\left(a^2+4\right)}{a}=2a+\frac{8}{a}\left(a\inℤ;a>2\right)\left(2\right)\)

từ (2) => \(P\inℤ\Rightarrow\frac{8}{x}\inℤ\)<=> a là ước của 8 và a>2

<=> a={4;8} => x=20;x=68

vậy x={5;6;8;20;68}