Question

[Hồ Xuân Thái]

Cho  nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (C khác A,B). Gọi H là hình chiếu của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C. I,J lần lượt là trung điểm của CH, DH.

a) Chứng minh góc CIJ bằng góc CBH

b) Chứng minh tam giác CJH đồng dạng với tam giác HIB

c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC²

d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta có: ^CBH=^ACH (Cùng phụ ^HCB) (1)

Xét \(\Delta\)CHD: I và J lần lượt là trung điểm của CH & DH => IJ là đường trung bình \(\Delta\)CHD

=> IJ // CD => IJ // AC => ^CIJ=^ACH (So le trg) (2)

Từ (1) và (2) => ^CIJ=^CBH (đpcm).

b) Thấy CJ là đường trung bình của tam giác ADH => \(\frac{CJ}{AH}=\frac{1}{2}\)

Mà \(\frac{HI}{CH}=\frac{1}{2}\)(Do I là trg điểm CH) => \(\frac{CJ}{AH}=\frac{HI}{CH}\Rightarrow\frac{CJ}{HI}=\frac{AH}{CH}\)

Dễ c/m \(\Delta\)AHC ~ \(\Delta\)CHB => \(\frac{AH}{CH}=\frac{CH}{HB}\Rightarrow\frac{CJ}{HI}=\frac{CH}{HB}\)

Lại có: CJ//AB và CH vuông AB => CH vuông CJ => ^JCH=90⁰

Xét \(\Delta\)CJH và \(\Delta\)HIB: ^JCH=^IHB; \(\frac{CJ}{CH}=\frac{CH}{HB}\)=> \(\Delta\)CJH~\(\Delta\)HIB (c.g.c) (đpcm).

c) Ta có: ^HIB + ^HBI = 90⁰. Mà ^HBI=^CHJ (Do \(\Delta\)CJH~\(\Delta\)HIB) => ^HIB+^CHJ=90⁰

=> Tam giác HEI vuông tại E => ^IEJ=90⁰

Xét tứ giác CIEJ: ^IEJ=^ICJ=90⁰ => Tứ giác CIEJ nội tiếp đường tròn

=> ^ECI=^EJI hay ^ECH=^HJI. Mà ^HJI=^HDC (Vì IJ//CD) => ^ECH=^HDC

Xét \(\Delta\)HEC và \(\Delta\)HCD: ^ECH=^CDH (cmt); ^CHD chung => \(\Delta\)HEC~\(\Delta\)HCD (g.g)

Suy ra: \(\frac{HE}{HC}=\frac{HC}{HD}\Rightarrow HE.HD=HC^2\)(đpcm).

Answer 2

[Hồ Xuân Thái]

có vài chỗ bạn ghi nhầm nha, may là mình cũng thuộc hàng top của huyện nên mới hiểu đc đó