Question

[mavis]

Cho tam giác ABC.Gọi M là trung điểm của BC.Nối A với M trên đoạn AM,lấy G sao cho AM=2GM. Nối BG kéo dài cắt AC tại N
a) Biết diện tích tam giác ABG là 20 cm2 . Tính diện tích các tam giác GBM?GCN?
b) Chứng tỏ An=CN và AB=2MN

Answer 1

[_Guiltykamikk_]

a) Xét tam giác ABG và tam giác BGM có chung đường cao hạ từ B xuống đáy AM

Mà  \(AG=2GM\) \(\Rightarrow S_{\Delta AGB}=2S_{\Delta BGM}\)

\(\Rightarrow S_{\Delta BGM}=\frac{1}{2}S_{\Delta AGB}=\frac{1}{2}\times20=10\left(cm^2\right)\)

Ta có  \(S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ABG}+S_{\Delta BGM}=20+10=30\left(cm^2\right)\)

Xét  \(\Delta ABM\)và \(\Delta ACM\)có chung đường cao hạ từ A xuống cạnh đáy

Mà BM = MC

\(\Rightarrow S_{\Delta ACM}=S_{\Delta ABM}=30\left(cm^2\right)\)

Xét  \(\Delta ACG\)và  \(\Delta MCA\)có chung đường cao hạ từ C xuống đáy AM

Mà  \(GA=\frac{2}{3}AM\Rightarrow S_{\Delta AGC}=\frac{2}{3}S_{\Delta AMC}=\frac{2}{3}\times30=20\left(cm^2\right)\)

Lại có  \(\Delta CGN\)và  \(\Delta AGC\)có chung đường cao hạ từ G xuống AC

Mà  \(NC=\frac{1}{2}AC\Rightarrow S_{\Delta CNG}=\frac{1}{2}S_{\Delta AGC}=\frac{1}{2}\times20=10\left(cm^2\right)\)

b) Ta có BM = MC

Mà AM = 2GM

\(\Rightarrow\)G là trọng tâm của tam giác ABC

Lại có BG cắt AC tại N

\(\Rightarrow\)BN là đường trung tuyến tam giác ABC

\(\Rightarrow AN=CN\left(1\right)\)

Mặt khác  \(BM=MC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của tam giác CAB

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB\)hay  \(AB=2MN\)