Cho a,b,c cua 3 canh cua 1 tam giác.c/m:A=a/b+c-a+b/a+c-b+c/a+b-c lớn hon hoặc =3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
31 tháng 1 2017
đặt b+c-a=x,a+c-b=y,a+b-c=z thì x,y,z>0 do a,b,c>0
=>x+y+z=a+b+c
có a=(y+z)/2 , b=(z+x)/2 ,c=(x+y)/2
A=(y+z)/2x + (z+x)/2y + (x+y)/2z =1/2[(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(x/z+z/x)
Áp dụng bđt cosi : x/y+y/x >= 2,y/z+z/y >= 2,z/x+x/z >= 2
=>A >= 1/2.6=3 (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z<=>b+c-a=a+c-b=a+b-c<=>a=b=c <=> tam giác đó là tam gíac đều
31 tháng 1 2017
Áp dụng bđt Cauchy-Schawrz dạng Engel ta có:
A = a^2/ab+ac-a^2 + b^2/ab+bc-b^2 + c^2/ac+bc-c^2
A \(\ge\)(a+b+c)^2/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)
A \(\ge\)a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)
A \(\ge\)2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2) + 2.(a^2+b^2+c^2)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)
A \(\ge\)1 + 2.(a^2+b^2+c^2)/2.(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2)
A \(\ge\) 1 + 2 = 3 (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
TA
0
SO
0
CL
2
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
8 tháng 5 2021
ta có \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}.\)
áp dụng vào bài ta có\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9>6\)
XO
8 tháng 5 2021
Ta có :\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Nhận thấy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Thật vậy ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
<=> \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(\text{đúng}\right)\)
Tương tự ta chứng minh được \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\end{cases}}\)
Khi đó \(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge3+2+2+2\ge9>6\)(đpcm)
HT
1
6 tháng 1 2016
\(\frac{a^2}{b}+b\ge2a;\frac{b^2}{c}+c\ge2b;\frac{c^2}{a}+a\ge2c\)(BĐT cô-si)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+b+\frac{b^2}{c}+c+\frac{c^2}{a}+a\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
NP
0
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}\)
Cần chứng minh \(3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
Ta có: \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le b^2\)
Tương tự nhân theo vế ta có DPCM