Cho a.b.c>0 và
\(6\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le1+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
CMR
\(\frac{1}{10a+b+c}+\frac{1}{10b+a+c}+\frac{1}{10c+a+b}\le\frac{1}{12}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
29 tháng 6 2017
Gọi cái vế trái của BĐT cần c/m là P
Áp dụng BĐT Cô-si dạng \(\frac{1}{a+b+c+x+y+z}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = x = y = z
và \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = x = y = z
Ta có \(\frac{1}{10a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)}\)
\(\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+4.\frac{1}{a+a}\right)\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2}{a}\right]\)
\(=\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2}{a}\right]\) (1)
Tương tự \(\frac{1}{10b+c+a}\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+\frac{2}{b}\right]\) (2)
và \(\frac{1}{10c+a+b}\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{2}{c}\right]\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(P\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)+\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\right]=...=\frac{1}{12}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Kết hợp \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}\) (theo đề bài) và BĐT \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Ta có \(P^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{144}\left[\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\right]\)
\(\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}+\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\right)\)
Suy ra \(P^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}+\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\right)\)
Đặt \(t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) thì \(\frac{1}{144}t^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+t}{6}+\frac{2t^2}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(2t^2-t-1\le0\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{-1}{2}\le t\le1\)
Do đó \(P^2\le\frac{1}{144}t^2\le\frac{1}{144}.1^2=\frac{1}{144}\) \(\Rightarrow\) \(P\le\frac{1}{12}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
Mới nghĩ ra 3 câu:
a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)
c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)
\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)
d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
11 tháng 2 2020
Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm
Mn giúp e vs ạ! Thanks!