Chứng minh với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có:
\(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 4 2020
Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)(1)
<=> \(2x^2+2y^2+2z^2+2t^2-2xy-2xz-2xt\ge0\)
<=> \(\left(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz\right)+\left(y^2+z^2-2yz\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+t^2\ge0\)
<=> \(\left(x-y-z\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-t\right)^2+t^2\ge0\)đúng
=> (1) đúng
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 0
26 tháng 4 2020
Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+t^2-x\left(y+z+t\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{4}-xy+y^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xz+z^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xt+t^2\right)+\frac{x^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{2}-y\right)^2+\left(\frac{x}{2}-z\right)^2+\left(\frac{x}{2}-t\right)^2\ge0\)(BĐT đúng)
Vậy có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\left(\frac{x}{2}-y\right)^2=\left(\frac{x}{2}-z\right)^2=\left(\frac{x}{2}-t\right)^2=\frac{x^2}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}-y=\frac{x}{2}-z=\frac{x}{2}-t=x=0\)
<=> x=y=z=t=0
9 tháng 9 2020
Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :)) (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)
\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)
Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, Xong! :))
RD
19 tháng 10 2018
\(4x^2+y^2+z^2+t^2\ge2x\left(y+z+t\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^2+y^2+z^2+t^2-2xy-2xz-2xt\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(x-t\right)^2+x^2\ge0\)(đúng)
=>đpcm
"="<=>x=y=z=t=0
25 tháng 10 2022
\(\Leftrightarrow4x^2+y^2+z^2+t^2-2xy+2xz-2xt>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+2xz+z^2\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+x^2>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(x-t\right)^2+x^2>=0\)(luôn đúng)
1 tháng 8 2017
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y\)
b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
Đúng với AM-GM 4 số
Xảy ra khi \(x=y=z=t\)