Question

[Trương Trà Giang]

Cho pt:

2x² + mx + m - 3 = 0

Chứng minh rằng pt có 2 nghiệm phân biệt

Cho pt:

x² - 2(2m-1)x + 3m² - 4 = 0

Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi m

Tìm m để x_1² + x_2² - x₁x_{2 = 5}

Answer 1

[Cú_Đêm]

+) Cho pt: 2x² + mx + m - 3 = 0. Chứng minh rằng pt có 2 nghiệm phân biệt

Ta có: \(a=2;b=m;c=m-3.\)
\(\text{Δ}=b^2-4ac=m^2-4.2.\left(m-3\right)=m^2-8m+24-\left(m-4\right)^2+8\)

=> đpcm

+) Cho pt: x² - 2(2m-1)x + 3m² - 4 = 0. Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi m;  Tìm m để x_1² + x_2² - x₁x₂ = 5 (*)

Ta có: \(a=1;b'=-\left(2m-1\right);c=3m^2-4\)

\(\text{Δ′}=-\left(2m-1\right)^2-1.\left(3m^2-4\right)=4m^2-4m+1-3m^2+4=m^2-4m+5=\left(m-2\right)^2+1\)

=> Pt có nghiệm với mọi m

ta lại có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m-1\left(1\right)\\x_1x_2=\frac{c}{a}=3m^2-4\left(2\right)\end{cases}}\)

(*)\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=5\)

    thay (1) và (2) vào (*) ta có: 

\(\left(2m-1\right)^2-3\left(3m^2-4\right)=5\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1-9m^2+12=5\)

\(\Leftrightarrow5m^2+4m-8=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=\frac{-2+2\sqrt{11}}{2}\\m=\frac{-2-2\sqrt{11}}{2}\end{cases}\)

Vậy \(m=\frac{-2+2\sqrt{11}}{2}\)hoặc \(m=\frac{-2-2\sqrt{11}}{2}\)thoả mãn x_1² + x_2² - x₁x₂ = 5

(Câu này mình nghĩ là tìm m để  x_1² + x_2² + x₁x₂ = 5 thì đúng hơn, nếu đúng thì bạn bình luận để mình làm nhé!)

Học tốt nhé!