Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng : \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}>=a+b+c\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HH
0
TN
6 tháng 8 2017
Quy đồng thần chưởng thôi :|, tua qua đoạn quy đồng mẫu tử đi nhé :v
\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4-a^3bc^2-a^2b^3c-ab^2c^3\right)+\left(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3-3a^2b^2c^2\right)}{abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
Dễ thấy: \(abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)>0\forall a,b,c\)
Giờ cần chứng minh \(a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4\ge a^3bc^2+a^2b^3c+ab^2c^3\)
Và \(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3\ge3a^2b^2c^2\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^6}=3a^2b^2c^2\) (đúng)
Ko mất tính tq giả sử \(a\ge b\ge c\)
Khi đó \(a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4\ge a^3bc^2+a^2b^3c+ab^2c^3\)
\(\Leftrightarrow c^2\left(a-b\right)\left(a^3-b^2c\right)+b^2\left(b-c\right)\left(a^2b-c^3\right)\ge0\) (đúng)
Hay ta có ĐPCM
NT
3
19 tháng 3 2019
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ac\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
ML
7 tháng 8 2016
Sử dụng bđt Côsi:
\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)
Tương tự và suy ra:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Thu gọn lại, ta có đpcm.
BN
7 tháng 8 2016
a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2
=>2a^3/b +b^2>=3a^2
Cm tương tự :
2b^3/c +c^2 >=3.b^2
2c^3/a +a^2 >=3.c^2
Cộng vế ta đc :
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2
Mặt khác :
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
nên
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca Dấu
= xảy ra khi a=b=c
NT
1
24 tháng 8 2015
Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số \(\frac{bc}{a};\frac{ca}{b}\) ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c\)
Tương tự, \(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}=2a\); \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: \(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
=> \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\). Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Ta có : \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}-a-b-c\)
= \(\frac{ab-ac}{c}+\frac{bc-ab}{a}+\frac{ca-bc}{b}\)
= \(\frac{ab\left(ab-ac\right)}{abc}+\frac{\left(bc\left(bc-ab\right)\right)}{abc}+\frac{ca\left(ca-bc\right)}{abc}\)
= \(\frac{a^2b\left(b-c\right)+b^2c\left(c-a\right)+c^2a\left(a-b\right)}{abc}\) \(\ge0\)
Do a,b,c > 0
Cách 2 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2.\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)
Cộng vế theo vế => \(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
=> \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c