Question

[Trần Thu Phương]

Biết rằng \(\left(x^2-4\right)P\left(x+1\right)=\left(x^2-3\right)P\left(x\right)\))

Chứng minh đa thức P (x) có ít nhất 4 nghiệm.

Answer 1

[Phạm Tuấn Đạt]

Với \(x=\sqrt{4}\)ta có :

\(\left(x^2-4\right)P\left(\sqrt{4}+1\right)=\left(x^2-3\right)P\left(\sqrt{4}\right)\)

\(\Rightarrow\left(4-4\right)P\left(\sqrt{4}+1\right)=\left(4-3\right)P\left(\sqrt{4}\right)\)

\(\Rightarrow0.P\left(\sqrt{4}+1\right)=P\left(\sqrt{4}\right)\Rightarrow P\left(\sqrt{4}\right)=0\)

Vậy \(\sqrt{4}\)là 1 nghiệm của P(x)

Với \(x=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\left(3-4\right)P\left(\sqrt{3}+1\right)=\left(3-3\right)P\left(\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow-P\left(\sqrt{3}+1\right)=0\)

\(\Rightarrow P\left(\sqrt{3}+1\right)=0\)

Vậy............

Tự làm tiếp nha

Answer 2

[Nguyễn Quang Hải]

vì (x²-4)P(x+1) = (x²-3)P(x) với mọi x nên :

- khi x²=4 =>  +) x=2 thì 0.P (x+1)=1.P(x) =>P(x) = 0.  vậy x=2 là 1 nghiệm của f(x)

                       +) x=-2 thì 0.P (x+1)=1.P(x) =>P(x) = 0.  vậy x=-2 là 1 nghiệm của f(x)

- khi x²=3 =>  +)  x=\(\sqrt{3}\) thì 5.P (x+1)=0.P(x) =>P(x+1) = 0.  vậy x=\(\sqrt{3}\) là 1 nghiệm của f(x)

                       +)  x= \(-\sqrt{3}\) thì 5.P (x+1)=0.P(x) =>P(x+1) = 0.  vậy x=\(\sqrt{3}\) là 1 nghiệm của f(x)

Do đó f(x) có ít nhất 4 nghiệm là: 2; -2; \(-\sqrt{3}\); \(\sqrt{3}\)